いつも大変お世話になっております。

[Q.] Discuss the differentiability of each of the following functions,
that is, find the points (if any) where the function is
differentiable.
If the function is differentiable, then state the derivative. (Here z=x
+iy.)
(a) f(z)=8\bar{z}+z^2+1
(b) g(z)=x^2-y^2+2xyi
(c) h(z)=x^3+3xy^2-3x+i(y^3+3x^2y-3y)
(d) Among the functions given in parts (a)-(c), which one(s) is(are)
entire?

という問題です。

(a)についてはlim_{⊿z→0}[f(z+⊿z)-f(z)]/⊿z=lim_{⊿z→0}[8\bar{⊿z}+2z⊿z+(⊿z)^2]/
⊿zとなり,
ここで⊿y=0として⊿x→0とすると
lim_{⊿z→0}[8\bar{⊿z}+2z⊿z+(⊿z)^2]/⊿z=lim_{⊿x→0}[8⊿x+2(x+yi)⊿x+(⊿x)^2]/
⊿x
=lim_{⊿x→0}(8+2(x+yi)+⊿x)=8+2(x+2iy)
一方,⊿x=0として⊿y→0とした場合は,
lim_{⊿z→0}[8\bar{⊿z}+2z⊿z+(⊿z)^2]/⊿z=lim_{⊿y→0}[-8⊿y+2(x+yi)⊿y+(⊿y)^2]/
⊿y
=lim_{⊿y→0}(-8+2(x+yi)+⊿y)=-8+2(x+2iy)
となり,近づけ方によって極限値が異なるので,f(z)=8\bar{z}+z^2+1は至る所で微分不可能。

(b)については
g(z)=(x+iy)^2=z^2と書けるので,普通に任意のz∈Cに於いて微分できて
その導関数はg'(z)=2z。

(c)については
zと\bar{z}のみで書き表せないかと思いましたがちょっと無理みたいです。
それでu(x,y):=x^3+3xy^2-3x, v(x,y):=y^3+3x^2y-3y と見立てると,
u_x(x,y)=3x^2+3y^2-3,v_y(x,y)=3y^2+3x^2-3,u_y(x,y)=6xy,v_x(x,y)=6xy.
これらがCauchy-Riemann方程式(u_x=v_y,u_y=-v_x)を満たせば

命題『f(z)=u(x,y)+iv(x,y)が領域DでCauchy-Reimann方程式を満たす⇔f(z)はD内で正則』より
h(z)は正則と言える。そのような領域Dを求めると
u_x(x,y)=v_y(x,y)は成立している。
u_y(x,y)=-v_x(x,y)から6xy=-6xyでxy=0となる。従って,x=0かy=0. でも

複素平面での領域の定義は
『開集合で連結(任意の2点を折れ線で結べる)の集合を領域という』で
x=0かy=0という範囲は領域にはなりませんよね。

従って,上記の命題より,Cauchy-Riemannの方程式を満たす領域は無いのでh(z)は至る所で微分不可能。
で正しいでしょうか?

(d)については整級数になるのはどれかという意味だと思います。
命題
『f(z)=u(x,y)+iv(x,y)に於いて,領域Dに於いてvはuにharmonic conjugate(Cauchy-Riemannの方
程式を満たす)
⇔
f(z)はDに於いて解析的(f(z)は整級数に展開されうる)である』
を使うと,g(z)のみu(x,y)=x^2-y^2,v(x,y)=2xyとすると
u_x(x,y)=2x,v_y(x,y)=2x,u_y(x,y)=-2y,-v_x(x,y)=-2yでCauchy-Riemannの方程式を満
たすのでg(z)は至る所で解析的なので
至る所でentireである。よって,(b)と結論づいたのですがこれで正しいでしょうか?

吉田京子