ご回答大変ありがとうございます。

>> If G is finite and if #G/#H is a prime number, what can be said about the
>> subgroups X with H⊂X⊂G? という問題です。
> これは, H が有限群 G の subgroup なら #H は #G を割り切る,
> ということだけでできる問題ですね.
> 何やら色々書かれていますが, この問題は, 要するに,
> X = H 又は X = G である, ということを言って欲しい
> のだと思います.

分かりました。
もし,H≦X≦G且つH≠X≠Gなる部分群Xがあったとする。
p:=#G/#Hと置くと#G=p#H,#G=n#X (但し,1<n<pつまり,gcd(n,p)=1)と書け,更にHはXの部分群になっているので
#X=n'#H(但し1<n'∈N)と書ける。
従って,#G=nn'#H。よってnn'=p (1<n,n'∈N)となり,pが素数である事に矛盾。

よって,X=HかX=Gとなるのですね。

吉田京子