Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!border3.nntp.dca.giganews.com!border1.nntp.dca.giganews.com!nntp.giganews.com!postnews.google.com!g26g2000vbi.googlegroups.com!not-for-mail From: KyokoYoshida Newsgroups: fj.sci.math Subject: =?ISO-2022-JP?B?GyRCJkY0WD90JEs0WCQ5JGtMP0JqGyhC?= Date: Thu, 20 Jan 2011 13:40:32 -0800 (PST) Organization: http://groups.google.com Lines: 54 Message-ID: NNTP-Posting-Host: 72.229.191.40 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Trace: posting.google.com 1295559632 2570 127.0.0.1 (20 Jan 2011 21:40:32 GMT) X-Complaints-To: groups-abuse@google.com NNTP-Posting-Date: Thu, 20 Jan 2011 21:40:32 +0000 (UTC) Complaints-To: groups-abuse@google.com Injection-Info: g26g2000vbi.googlegroups.com; posting-host=72.229.191.40; posting-account=WW-P-goAAADS1u9yskwAcJfIST-zvGgd User-Agent: G2/1.0 X-HTTP-UserAgent: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 8.0; Windows NT 5.1; Trident/4.0; GTB6.5; YJSG3),gzip(gfe) Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3218 いつも大変お世話になっております。 http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def566.JPG http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem1_2.JPG (i)ζ(s)は複素全平面に有理形関数として解析接続でき,s=1を除いて正則である。 (ii) s=1はζ(s)の1位の極であり,そこでの留数は1である。 (iii) 任意のsに対し,等式π^{-s/2}Γ(s/2)ζ(s)=π^{-(1-s)/2}Γ((1-s)/2)ζ(1-s)が成り立つ(但 し,Γはgamma関数)。 の問題を証明を試みております。 (i)の証明に関して 先ずζ関数はs=1では定義されてないので"s=1を除いて"の箇所が意味不明なのですがこれはどういうことでしょうか? ζ関数が全複素平面へ有理形関数として解析接続できることを示す。 先ずζ関数は有理形関数であることは B⊂C∋aとし,2重連結D∈{C_1＼C_2∈2^B;C_1:={z∈C;|z-a|≦r_1} and C_2:={z∈C;|z-a| r_2} http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/img003.jpg にてζ関数は明らかにD上で正則なので(∵ζ関数の定義よりΣ_{n=1}^∞1/n^sは∀s∈Dにて微分可能(∵ζ関数はD上で一様収束するので (∵??)))分かる。 ここの??の理由が分かりません。どうすれば示せますでしょうか? そして,次に全複素平面上でζが解析接続である事を示したいのですが 解析接続の定義は http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def566.JPG のDef572の通りだと思います。今関数はζだけでgに相当するものが無くて困っています。 どうやって解析接続である事が示せますでしょうか? (ii)の証明に関して ζをLaurentの定理を使って領域DでLaurent展開するとζ(s)=Σ_{k=1}^∞1/n^s =Σ_{k=0}^∞c_k(s-a)^k+Σ_{k=1}^∞b_k/(s-a)^k (但し,b_k,c_k∈C)となる (但し,c_k=1/(2πi)∫_cζ(s)/(s-a)^{k+1}ds, b_k=1/(2πi)∫_cζ(s)(s-1)^{k-1}dsで積 分経路cはいずれも反時計回りとする)。 1位の極である事を言うのだからこれからb_1≠0且つb_2=b_3=…=0である事が言えればよい。 b_1=1/(2πi)∫_cζ(s)(s-1)^{1-1}ds=1/(2πi)∫_cζ(s)(s-1)^0ds=1/(2πi)∫_cζ(s)・ 1ds=1/(2πi)∫_cζ(s)ds≠0 (∵??) ここはCauchyの積分公式 『複素関数f(z)が単純閉曲線cとその内部Dで正則である時,D内の任意の点αについて次の公式が成り立つ。∫_c f(z)/(z- α)dz=2πif(α)』 も使えなさそうだし、、、 そしてb_2=b_3=…=0である事もどのようにして示せばいいのでしょうか? これらが示せればRes_{s=1}ζ(s)=1は留数の定義から直ちに言えますね。 (iii)に関して (左辺)=π^{-s/2}∫_[0..∞]exp(-x)x^{s/2}dxζ(s) (∵gamma関数の定義) (右辺)=π^{-(1-s)/2}∫_[0..∞]exp(-x)x^{(1-s)/2}dxζ(1-s) から一体どうすればいいのでしょうか 吉田京子