いつも大変お世話になっております。

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def566.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem1_2.JPG
(i)ζ(s)は複素全平面に有理形関数として解析接続でき,s=1を除いて正則である。
(ii) s=1はζ(s)の1位の極であり,そこでの留数は1である。
(iii) 任意のsに対し,等式π^{-s/2}Γ(s/2)ζ(s)=π^{-(1-s)/2}Γ((1-s)/2)ζ(1-s)が成り立つ(但
し,Γはgamma関数)。

の問題を証明を試みております。

(i)の証明に関して
先ずζ関数はs=1では定義されてないので"s=1を除いて"の箇所が意味不明なのですがこれはどういうことでしょうか?

ζ関数が全複素平面へ有理形関数として解析接続できることを示す。
先ずζ関数は有理形関数であることは
B⊂C∋aとし,2重連結D∈{C_1＼C_2∈2^B;C_1:={z∈C;|z-a|≦r_1} and C_2:={z∈C;|z-a|
<r_2}, r_1,r_2∈R, r_1>r_2}
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/img003.jpg
にてζ関数は明らかにD上で正則なので(∵ζ関数の定義よりΣ_{n=1}^∞1/n^sは∀s∈Dにて微分可能(∵ζ関数はD上で一様収束するので
(∵??)))分かる。

ここの??の理由が分かりません。どうすれば示せますでしょうか?

そして,次に全複素平面上でζが解析接続である事を示したいのですが
解析接続の定義は
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のDef572の通りだと思います。今関数はζだけでgに相当するものが無くて困っています。
どうやって解析接続である事が示せますでしょうか?


(ii)の証明に関して
ζをLaurentの定理を使って領域DでLaurent展開するとζ(s)=Σ_{k=1}^∞1/n^s
=Σ_{k=0}^∞c_k(s-a)^k+Σ_{k=1}^∞b_k/(s-a)^k (但し,b_k,c_k∈C)となる
(但し,c_k=1/(2πi)∫_cζ(s)/(s-a)^{k+1}ds, b_k=1/(2πi)∫_cζ(s)(s-1)^{k-1}dsで積
分経路cはいずれも反時計回りとする)。
1位の極である事を言うのだからこれからb_1≠0且つb_2=b_3=…=0である事が言えればよい。
b_1=1/(2πi)∫_cζ(s)(s-1)^{1-1}ds=1/(2πi)∫_cζ(s)(s-1)^0ds=1/(2πi)∫_cζ(s)・
1ds=1/(2πi)∫_cζ(s)ds≠0
(∵??)
ここはCauchyの積分公式
『複素関数f(z)が単純閉曲線cとその内部Dで正則である時,D内の任意の点αについて次の公式が成り立つ。∫_c f(z)/(z-
α)dz=2πif(α)』
も使えなさそうだし、、、
そしてb_2=b_3=…=0である事もどのようにして示せばいいのでしょうか?
これらが示せればRes_{s=1}ζ(s)=1は留数の定義から直ちに言えますね。


(iii)に関して
(左辺)=π^{-s/2}∫_[0..∞]exp(-x)x^{s/2}dxζ(s) (∵gamma関数の定義)
(右辺)=π^{-(1-s)/2}∫_[0..∞]exp(-x)x^{(1-s)/2}dxζ(1-s)
から一体どうすればいいのでしょうか

吉田京子