(Ω,Σ,μ)においてf_kはfにL^p収束(1≦p≦∞)なら∀g∈L^q (1/p+1/q=1)に対して∫_Ωf_k(x)g(x)dμ→∫_Ωf(x)g(x)dμを示せ

いつもお世話になっています。


[Q] Let (Ω,Σ,μ) be a measure space and suppose f_k→f in L^p (1≦p≦∞).
Show, for any g∈L^q (1/p+1/q=1), that ∫_Ωf_k(x)g(x)dμ→∫_Ωf(x)g(x)dμ.

という問題です。

p=∞(q=1)とp=1(q=∞)と1<p<∞(q=p/(p-1))の3パターンで吟味しないといけないと思います。
書き下すと

(i) p=∞の時, lim[k→∞]‖f_k-f‖_∞=0(つまり,lim[k→∞]inf{K∈R;|f_k(x)-f(x)|≦K
a.e.}=0)ならば
∀g∈L^1:={g;gはΣ可測,∫_Ω|g(x)|dμ<∞}に対して,
lim[k→∞]∫_Ωf_k(x)g(x)dμ=∫_Ωf(x)g(x)dμとなる事を示せ。

(ii) p=1の時, lim[k→∞]‖f_k-f‖_1=0(つまり,lim[k→∞]∫_Ω(f_k(x)-f(x))dμ=0)ならば
∀g∈L^∞:={g;gはΣ可測,gはa.e.有界}に対して,
lim[k→∞]∫_Ωf_k(x)g(x)dμ=∫_Ωf(x)g(x)dμとなる事を示せ。

(iii) 1<p<∞の時, lim[k→∞]‖f_k-f‖_p=0(つまり,lim[k→∞](∫_Ω(f_k(x)-f(x))^pdμ)^
(1/p)=0)ならば
∀g∈L^(p/(p-1)):={g;gはΣ可測,∫_Ω|g(x)|^(p/(p-1))dμ<∞}に対して,
lim[k→∞]∫_Ωf_k(x)g(x)dμ=∫_Ωf(x)g(x)dμとなる事を示せ。


という問題なのですがにっちもさっちもいきません。
どうかご教示ください。


吉田京子