Re: 環の 0 元について

内田と申します。

文章が、文字化けしてしまいましたので、再投稿します。
大変、申し訳ございませんでした。

小野さん(suzupmanbow.com) の投稿(<050221093030.M0145287@readme.jp>)より

> 　小野と申します。
> 
> 　環についての基礎的な質問なのですが、加法の単位元0が、なぜ乗法の零元
> になるのでしょうか。岩波の数学事典では、さらりと書かれていて、その説明
> がありません。自分でも導くことができないので、識者の御指導を仰ぐ次第で
> す。よろしくお願いします。
> 
> 

丁寧に証明するとしますと、こんな感じになるのでしょうか。

・R を加法 +, 乗法 * からなる環とし、o を加法 + の単位元とする。

　このとき、任意の R の元 a に対して、

          a * o = o * a = o

   が成立する。
   さらに、もし、R の元 ε が、任意の R の元 a に対して、

                   a *ε = ε * a = o

  を満たすならば、
                  ε = o

　でなければならない。

証明)
   最初のステートメントの証明

    a を R の任意の元とする。
    o は、加法の単位元であるので、

        a * o = a * (o + o).

    従って、分配律より

       a * o = (a * o) + (a * o).

    R は、加法 + に対し群になっているので、a + o の加法による逆元
    を両辺に加えて、

          o = a * o.

    o * a = (o + o) * a であるので、同様にして

          o * a = o.

   2番目のステートメントの証明

    a を R の任意の元, e を乗法 * の単位元とする。

       a  = a + o = (a * e) + o.

    ε の性質より、o = a *ε が成り立つので、

       a = (a * e) + (a *ε).

    従って、分配律より

       a = a * (e + ε).

    同様にして、
         (e + ε) * a = a.

    従って、e + ε は、乗法 * に対する単位元となる。
    e は、乗法 * に対する単位元であるので、
            e + ε = e.

   R は、加法 + で群なので、両辺に、e の加法による逆元を加えて、

            ε = o.

では。

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内田
y_uchida-lj@infoseek.jp