Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!border1.nntp.dca.giganews.com!nntp.giganews.com!postnews.google.com!a17g2000prm.googlegroups.com!not-for-mail From: cchikakoo@yahoo.co.jp Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: (v_1+v_2)( $B!_ (B)w=v_1( $B!_ (B)w + v_2( $B!_ (B)w $B$N>ZL@ (B Date: Sat, 1 Nov 2008 16:13:28 -0700 (PDT) Organization: http://groups.google.com Lines: 165 Message-ID: References: <1b1ee5dd-6e63-452b-aeb1-c88bc41e201b@v39g2000pro.googlegroups.com> <081026204016.M0123705@cs1.kit.ac.jp> NNTP-Posting-Host: 129.101.83.66 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Trace: posting.google.com 1225581208 24308 127.0.0.1 (1 Nov 2008 23:13:28 GMT) X-Complaints-To: groups-abuse@google.com NNTP-Posting-Date: Sat, 1 Nov 2008 23:13:28 +0000 (UTC) Complaints-To: groups-abuse@google.com Injection-Info: a17g2000prm.googlegroups.com; posting-host=129.101.83.66; posting-account=yyYqWQoAAADq9u_Tcs1LkYqZpWGGwDA9 User-Agent: G2/1.0 X-HTTP-UserAgent: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 7.0; Windows NT 5.1; AntivirXP08),gzip(gfe),gzip(gfe) Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2309 ご回答ありがとうございます。 > (x_1+x_2,y) mod T =(x_1,y)+(x_2,y) mod T > を示せば良いんですが、 > ((x_1+x_2,y) - (x_1,y)-(x_2,y) =0 ) mod T これが示せればいいんですよね。 > # > # > # <7521a351-6f8d-4511-b214-42b494c3a...@k36g2000pri.googlegroups.com> > # は同じ内容ですね. 投稿トラブるで失礼いいしました。 > # R は 1 をもつとしていて, Rは単位的可換環でなければならないのですね。 > span(V×W) は V×W の > # 全ての元を基底とする自由左R加群ですね. V×Wの全ての元ですか,,? ならV×Wの元は無限個ありますよね。 (V,Wは左R加群なので) と言う事はspan(V×W)の次元は無限次元? > span(V×W) の元は (x, y) (x ∈ V, y ∈ W) と書ける > わけではありません. > Σ_{i=1}^N r_i (x_i, y_i) (N: 自然数, r_i ∈ R, x_i ∈ V, y_i ∈ W) そうですね。V×Wの元の一次結合として表せれるのですね。 覚えておきます。 > の形のものの全体です. (N が 0 なら, 零元を表すものと考え > る約束もあります.) >> V(×_R)Wは単にV(×)Wと書いたりもする。 > 各類を構成するのは span(V×W) の元ですから, > v(×)w = { u = Σ_{i=1}^N r_i (x_i, y_i) ; u ≡ (v,w) (mod T) } {(x_1,y_1),(x_2,y_2),…,(x_N,y_N)}はspan(V×W)の基底なのですね。 > と書くべきでしょう. T を法とするときの, (v, w) を含む類を > [(v, w)] と書くならば, v(×)w = [(v, w)] であるというのは > その通り. > V(×)W = { [u] ; u ∈ span(V×W) } これは大変参考になります。こっこんなにシンプルに書けるのですね!! > 例えば, 一番最初の式は > [(v_1+v_2, w)] = [(v_1, w)] + [(v_2, w)] そうですね。このように書けますね。 > ということです. 一般に類の和が又類になることを既に > 知っているとすれば, これを示すのに必要なことは, > span(V×W) の元 (v_1, w) + (v_2, w) が > 類 [(v_1+v_2, w)] に入ること, 即ち, 一般での類別では集合Xの類をC(a)と表す事にすれば (i) a∈C(a) (ii) C(a)=C(b)⇔C(a)∩C(b)≠φ⇔a≡b(mod T) (iii) X=∪{C(a);a∈X} は知っていますが,,, 今,V(×)WはC(a)+C(b):=C(a+b)と定義すると群をなすから "類の和が又類"が言えるのでしょうか? 実際, v(×)w,v'(×)w'∈V(×)Wを採ると,v(×)w+v'(×)w'をどのように定義するのでしょうか? (v+v')(×)(w+w'):=v(×)w+v'(×)w'と定義すると, v+v'∈V,w+w'∈Wなので(v+v')(×)(w+w')∈V(×)Wとなり, 結合法則は(v(×)w+v'(×)w')+v"(×)w"=v(×)w+(v'(×)w'+v"(×)w"). 零元の存在は0(×)0∈V(×)Wと採ればよい。 逆元の存在は(-v)(×)(-w)∈V(×)Wと採ればよい。 交換法則も明らか。 よってV(×)Wは(剰余)群をなす。 でいいのでしょうか? > (v_1+v_2, w) ≡ (v_1, w) + (v_2, w) (mod T) > となることだけです. 確かにこれが示せれば(ii)より[(v_1+v_2,w)]=[(v_1,w)+(v_2,w)] =[(v_1,w)]+[(v_2,w)] (∵剰余群の定義) と言えますね。 > # [(v_1, w)] + [(v_2, w)] は > # [(v_1, w)] の代表元 (v_1, w) と > # [(v_2, w)] の代表元 (v_2, w) との > # span(V×W) での和 (v_1, w) + (v_2, w) が属する類 > # として定義されます. つまり,加法を[(v_1, w)] + [(v_2, w)]:=[(v_1, w)+(v_2, w)]と定義するのですね。 右辺は(×)で表しようがありませんね。 すると v(×)w,v'(×)w'∈V(×)Wを採ると,v(×)w:=(v,w)modT,v'(×)w':=(v',w')modTで表す事にすれば ((v,w)+(v',w'))modT=(v,w)modT+(v',w')modT …(*) と定義するのですね。 こう定義すると 結合法則は((v,w)modT+(v',w')modT)+(v",w")modT =((v,w)+(v',w'))modT+(v",w")modT=(((v,w)+(v',w'))+(v",w"))modT =((v,w)+((v',w')+(v",w")))modT(∵span(V×W)の元は和に関して結合法則をなす) =(v,w)modT+((v',w')modT+(v",w")modT). 零元の存在は(0,0)modT∈V(×)Wと採ればよい。 逆元の存在は(-v,-w)modT∈V(×)Wと採ればよい。 交換法則も明らか。 よってV(×)Wは(剰余)群をなす。 でいいのでしょうか? > # 又, 類 [x] と類 [y] が一致するには y ∈ [x] で > # あれば十分です. (ii)からそうですね。 > T の元を書くなら, > Σ_i a_i ((x_{i1}+x_{i2}, y_i) - (x_{i1}, y_i) - (x_{i2}, y_i)) > + Σ_j b_j ((x_j, y_{j1}+y_{j2}) - (x_j, y_{j1}) - (x_j, y_{j2})) > + Σ_k c_k ((r_k x_k, y_k) - r_k (x_k, y_k)) > + Σ_l d_l ((x_l, r_l y_l) - r_l (x_l, y_l)) > としないといけません. 私が掲げた T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2), (rx,y)- r(x,y),(x,ry)-r(x,y)} の各生成元 (x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y), (x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2), (rx,y)- r(x,y), (x,ry)-r(x,y) はV×Wの元なのだからですね。 Σ_i a_i ((x_{i1}+x_{i2}, y_i) - (x_{i1}, y_i) - (x_{i2}, y_i)) + Σ_j b_j ((x_j, y_{j1}+y_{j2}) - (x_j, y_{j1}) - (x_j, y_{j2})) + Σ_k c_k ((r_k x_k, y_k) - r_k (x_k, y_k)) + Σ_l d_l ((x_l, r_l y_l) - r_l (x_l, y_l)) は確かにV×Wの基底の一次結合で表されてますね。 > もっとも, > (v_1+v_2, w) ≡ (v_1, w) + (v_2, w) (mod T) > を示すのは, > (v_1+v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w) > が T の生成元の一つなのですから, 自明です. なりほど。Tの定義から(v_1+v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)∈Tになってますよね。 だから(v_1+v_2, w) ≡ (v_1, w) + (v_2, w) (mod T)で (ii)より(v_1+v_2, w)modT=((v_1, w) + (v_2, w))modT=(v_1, w)modT+(v_2, w)modT(∵(*)) で(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)wが成り立つのですね。 納得です。