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Date: Fri, 27 Mar 2009 20:35:11 -0700 (PDT)
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いつも大変お世話になっております。
プリント配布から質問です。

Let F be an increasing function on R that is normalized and let μ be a
Borel measure on R such that μ((a,b])=F(b)-F(a) if a<b.
Labe each of the following statements as True or False.
(1) A Borel measure ν on R is singlar with respect to μ if there are
disjoint sets A,B⊂R such that μ is supported on A and ν is supported
on B.
(2) The measure μ is absolute continuous with respect to the Lebesgue
measure.
(3) If F is continuous,then μ is absolute continuous with respect to
the Lebesgue measure.
(4) If F is not continuous,then μ is singular with respect to the
Lebesgue measure.
(5) If F is a pure jump function,then μ is singular with respect to
the Lebesgue measure.

と言う問題に取り組んでいます。

normalizedの定義は「各点で右連続の関数」です。
singularの定義は「(X,M)を可測空間とし,μとνをMでの測度とする。μとνがmutually singular
⇔(def)
∀E∈Mに対し,X⊃∃A,Bは互いに素でμ(E)=μ(E∩A),ν(E)=ν(E∩B)」
absolute continuousの定義は「(X,M)を可測空間とし,μとνをMでの測度とする。νがμに関してabsolutely
continuous
⇔(def)
μ(E)=0なるE∈Mに対し,ν(E)=0」
supportedについての定義は「(X,M,μ)を測度空間とする時,μが集合A⊂Xでsupported.
⇔(def)
∀E∈Mに対して,μ(E)=μ(E∩A)」
です。

(1)については題意よりA,B⊂Rが互いに素で∀E∈Mに対してμ(E)=μ(E∩A),ν(E)=ν(E∩B)と書けるからsingularの定義
よりTrue.

(2)ついてはE∈Mがμ(E)=0だとすると,μの定義(μ((a,b])=F(b)-F(a),Fは増加関数)からμ(E)=0であるためにはE=
(a,a]でなければならない。
その時,μ((a,a])=μ(φ)=0(∵測度の定義)となる。この時,ルベーグ測度mについてもm((a,a])=m(φ)=0となるからμはmに
absolutely continuous.
よってTrue

(3)についてはFは増加な連続関数だと言っているのだからμ(E)=0であるためにはE=(a,a]でなければならない。
よって,(2)と同様にm((a,a])=m(φ)=0となるからμはmにabsolutely continuous. よってTrue

で宜しいでしょうか?

(4)についてはFが不連続という条件から∀E∈Mに対してμ(E)=μ(E∩A),m(E)=m(E∩B)なる互いに素なA,B∈Mが採れるのか分か
りませんでした。
これはどのようにして判定すればいいのてしょうか?

(5)についてもどのようにして判定すればいいのてしょうか?


吉田京子