ご回答大変ありがとうございます。

>> dt/dxの像は高々一次元だが∂x/∂xの像は高々2次元なのですね。
> この部分は意味不明ですが, それはさておき,

すいません。「∂x/∂x」ではなく「∂t/∂x」でした。

dt/dxでは( y は単なる定数だと思って) t を x だけの関数と考えていて,
∂t/∂xでは t が x と y の関数だと考えているので
dt/dxはxの関数,∂t/∂xはxとyの関数と考えているので
dt/dxの像は一次元,∂t/∂xの像は2次元と思ったのですが。
勘違いしてますでしょうか?

>> ええ? 今,u(x,y)=arctan(y/x),v(x,y)=(-1/2)ln(x^2+y^2)なのですよね。
>> これからどうして-ilog(z)+iCとなるのでしょうか?
> log(z) = log(re^{iθ}) = log r + iθ
> = log((x^2 + y^2)^{1/2}) + i arctan(y/x)

すいません。どうしてr=√(x^2+y^2)なのでしょうか?
今,tanθ=y/xの関係になっているのですよね。
その時,tanθの定義から
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/tangent.jpg
という風になるかと思います。その時,r=xとなるのではないでしょうか?

> = (1/2) log(x^2 + y^2) + i arctan(y/x)
> です. 但し, tan は周期 π の関数ですから,

そうですね。tanθはπ/2±nπで不連続ですね。

> arctan(y/x) は π の整数倍の違いの分枝を
> 持ちますが,

そうですね。tanθ=y/xならtan(θ±nπ)=y/x (但しn∈Z)となりますね。

> そのうち θ と π (+ 2π の整数倍)
> ずれるものでないものを取らないと,

つまり,(1/2) log(x^2+y^2)+i arctan(y/x)=(1/2) log(x^2+y^2)+i (θ±nπ)
=(1/2) log(x^2+y^2)+i θ,(1/2) log(x^2+y^2)+i (θ-π),(1/2) log
(x^2+y^2)+i (θ+π),
(1/2) log(x^2+y^2)+i (θ-2π),(1/2) log(x^2+y^2)+i (θ+2π),…
などが採れますが,どれを選べばいいのでしょうか?

> 定数の差が出ます.

うーん,どういう事でしょうか?