ご回答大変有難うございます。


>> Σ_1×Σ_2={(A,B);A∈Σ_1,B∈Σ_2}もΣ_1×Σ_2={A×B;A∈Σ_1,B∈Σ_2}も
>> σ加法族にはならないのですね。
> この話で (A, B) が必要になることは余り考えられません.

そうでしたか。失礼致しました。


>> {(E_1×E_2)∪(Z_1×Z_2);E_1×E_2∈σ(Σ_1×Σ_2),
>>                         Z_1×Z_2⊂E_1×E_2∈σ(Σ_1×Σ_2),
>>                         (μ_1×μ_2)(E_1×E_2)=0}
>> が採れるのですね。
> 後者は σ(Σ_1×Σ_2) の完備化を表せてはおりません.

測度空間(X,m,μ)の完備化(X,M~,μ~)の定義は
M~:={E∪Z;E∈M,Z⊂F∈M,M(F)=0}
μ~(E∪Z):=μ(E)
ですよね??

よってσ(Σ_1×Σ_2)~は
{(E_1×E_2)∪(Z_1×Z_2);E_1×E_2∈σ(Σ_1×Σ_2),
                         Z_1×Z_2⊂E_1×E_2∈σ(Σ_1×Σ_2),
                         (μ_1×μ_2)(E_1×E_2)=0}
となると考えたのですが何処がまずかったのでしょうか?