傑作(0)
            2006/10/19(木) 午前 10:13  |   メタメタ数学試論  |   その他自然科学





      集合とその集合の冪集合とははっきり弁別されるものだというのが数学の世界では暗黙の了解となっているのだが果たしてそうだろうか？



      例えば、



      方程式が、ｘの解集合を｛ｘ｝とした場合に、｛ｘ｝＝｛α，β，γ｝すなわち三重根だったとした場合にｘ＝αという等式は正しいのかどうか？



      という疑問が生じます。物理学では、ディラックが素粒子の持つ静止エネルギーに関して、Ｅ^2＝Ｘという解からＥ＝±√Ｘを導いて、さらに、「非常識だとされている負のエネルギーもまた存在しなければならないのだ」という使命感に燃えて後の研究を進めたことは有名です。



      しかし、



      「集合から要素を単独で取り出すことは自由」というより「それこそが集合論の目的であり眼目だった」ことから｛ｘ｝＝｛α，β，γ｝からｘ＝α等を導くことは許されます。このことはｘ≠｛ｘ｝から論理の逆を取ったのではないことが示されます。ということは、解集合が｛ｘ｝＝｛α，β，γ｝だった場合に、ｘ＝？の形に許される表記は｛［α｝，｛β｝，｛γ｝，｛α，β｝，｛β，γ｝，｛γ，α｝｛α，β，γ｝，｛φ｝｝の八種類だとわかります。このうちで空集合は欠陥ではなく、ｘ＝？のすべてを書き表すために“解じゃない”をも表記していると言ったほうが良いと思います。



      現段階で私見に過ぎませんが、「集合とは己の冪集合のことである」と論証できました！



      ゆえに自然数と実数とは等濃度（というより濃度概念は不用です）でありラッセルの逆理はその場合だけ全域で解消されます・・、か？あ、いや、そうじゃないです！それはそれで（複数の要素を持つ集合はⅡ類だという命題を捨てることになっての）無矛盾体系ですが、そうなったらなったで「あらゆる集合はⅠ類集合」だなんてことになるので、注意深く考察していたら解りましたよ。もう一つ別の無矛盾体系が築けるんです。「集合の最小要素はⅠ類集合」なる命題を捨てたら「冪集合と己とは濃度が異なる」が生きて「あらゆる集合はⅡ類集合」という体系になります。



      設定の任意性としたらそのぐらいですね？


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