Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!border3.nntp.dca.giganews.com!border1.nntp.dca.giganews.com!nntp.giganews.com!postnews.google.com!hg8g2000vbb.googlegroups.com!not-for-mail From: KyokoYoshida Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: N $B". (B{0} $B"; (Br: $B6v?t$J$i&F (B(r)=1/(r-1)!1/(2^r-1)(2 $B&P (Bi)^r h_r(-1)/2 Date: Wed, 1 Jun 2011 08:41:34 -0700 (PDT) Organization: http://groups.google.com Lines: 80 Message-ID: <95e80486-0645-4fc4-8fbf-9af136bcb850@hg8g2000vbb.googlegroups.com> References: <2cbaa7f2-830c-45b0-9633-16f6d5c23cdd@f11g2000vbx.googlegroups.com> <110523185408.M0128429@ras2.kit.ac.jp> NNTP-Posting-Host: 128.238.250.1 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Trace: posting.google.com 1306942895 14486 127.0.0.1 (1 Jun 2011 15:41:35 GMT) X-Complaints-To: groups-abuse@google.com NNTP-Posting-Date: Wed, 1 Jun 2011 15:41:35 +0000 (UTC) Complaints-To: groups-abuse@google.com Injection-Info: hg8g2000vbb.googlegroups.com; posting-host=128.238.250.1; posting-account=WW-P-goAAADS1u9yskwAcJfIST-zvGgd User-Agent: G2/1.0 X-Google-Web-Client: true X-Google-Header-Order: ARLUEHNKC X-HTTP-UserAgent: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 8.0; Windows NT 5.1; Trident/4.0; GTB6.6; InfoPath.2),gzip(gfe) Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3358 ご回答誠に有難うございます。 >> Theorem3.4の証明についての質問なのですが > 岩波講座 現代数学の基礎「数論1」加藤和也・黒川信重・斎藤毅著 > の第3章の定理 3.4 の証明については, 別 thread で議論しました. そうでした。書きミスでした。失礼いたしました。 >> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/P093.JPG > 定理 3.8 の証明の部分を問題にされているのでしょう. その通りでございます。 >> N=2とすると,ζ_2=exp(2πi/2)、そしてχは自明な群同型写像だというのだから >> Z_2^×={1mod2}∋1mod2→χ(1mod2):=1∈C^×…(*) >> と書けると思います。 >> この時,N〓{0}∋r:偶数 に於いて, >> L(r,χ)=1/(r-1)!(-2πi/2)^r・1/2Σ_{a∈Z_2^×}χ(a)h_r(ζ_2^a) > これは定理 3.4 ですね. はい。L(r,χ)=1/(r-1)!(-2πi/2)^r・1/2Σ_{a∈Z_N^×}χ(a)h_r(ζ_N^a)にN=2を代入しただけです ね。 >> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(exp(2πi/2)^1) >> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(exp(2πi/2)) >> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(exp(πi)) >> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(cosπ+isinπ)) (∵Eulerの公式) >> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1)h_r(-1) > \chi(1) = 1 なのですから, これで > L(r, \chi) = (1/(r-1)!) (- 2 \pi i / 2)^r (1/2) h_r(-1) > となるわけです. そうですね。 >> =1/(r-1)!(-πi)^r・1/2χ(1) (r-1)!(-1/(2πi))^rΣ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r > は >> (∵h_r(t)の定義) > ではなくて, h_r(t) の命題 3.3 による書き直しを使っているわけで, > 定理 3.8 の証明には関係ありません. そうでしたか。 >> =χ(1)Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r >> =1・Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r (∵χの定義(*)) >> =Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r. >> 即ち, L(r,χ)=Σ_{n∈Z}1/(1/2+n)^r > ここまで, 不要です. 了解です。 >> 一方、 >> L(s,χ)=Σ{n=1}^∞ χ(n)/n^s=χ(1)/1^s+χ(3)/3^s >> +χ(5)/5^s+…(∵χの定義(*)) >> Σ_{n=1,nは奇数}^∞ 1/n^s=ζ(s)-Σ_{n=1}^∞1/(2n)^s >> (∵ζ関数の定義) >> =(1-1/2^s)ζ(s). すいません。 ζ(s)-Σ_{n=1}^∞1/(2n)^s=ζ(s)-Σ_{n=1}^∞1/(2^sn^s) からどうして =(1-1/2^s)ζ(s). と変形できるのでしょうか? >> 即ち,L(s,χ)=(1-1/2^s)ζ(s) > そう, 特に, 正の偶数の r についても > L(r, \chi) = (1 - 1/2^r) \zeta(r) > ですから, そうですね。今,s∈{s∈C;Re(s)>1}でしたから勿論,rについてもこのように書けますね。 >> これらからどのようにして >>ζ(r)=1/(r-1)!・1/(2^r-1)・(2πi)^r ・h_r(-1)/2 >> に持っていけるのでしょうか? > L(r, \chi) : > = (1/(r-1)!) (1/(2^r-1)) (2 \pi i)^r (1/2) h_r(-1) > となります. # (-1)^r = 1 です. 納得です。