ご回答大変ありがとうございます。

>> 「(X,M)を可測空間とする。μをσ有限測度,νを符号付測度とする。
>> ν_a≪μ,ν_s⊥μでν=ν_a+ν_sなる符号付測度ν_a,ν_sが一意的に存在する。
>> 更に∀E∈Mに対し,ν_a(E)=∫_E fdμなる拡張されたμ可積関数fが存在する。」
> |ν|(X) < ∞ でしょうね.

特にνについての制約等は見当たりませんが,|ν|(X) < ∞の条件が必要なのですね。

>> (証) 命題(ア)「μが測度,ν_i が測度,または符号付測度(i=1,2,3,4)とする 時,
>> ν_1+ν2=ν_3+ν_4,ν_1≪μ,ν_3≪μ,ν_2⊥μ,ν_4⊥μ
>>  ⇒ν_1=ν3,ν_2=ν_4」 命題(イ)「次のようなg∈L^2(X,M,μ+ν)が存在する。
>> (1) 任意のh∈L^2(X,M,μ+ν)に対し,∫hdν=∫_hgd(μ+ν) (2)
>> 0≦g≦1,(μ+ν)-a.e. (3) S:={x∈E;g(x)=1}に対しμ(S)=0.
>             X でしょう.

ありがとうございます。S:={x∈X;g(x)=1}なのですね。実は{g(x)=1}とだけ書かれていたので定義域は何なのかはっきりしませんでし
た。

>> (4) ∫h(1-g)dν=∫hgdμ.」 より,存在性のみ言えばよい。
> 命題 (ア), (イ) を認めて, ν_a, ν_s, f の存在を言うのですか.

はい。そうです。

>> 存在性を示す。 ∀E∈Mに対してν_a(E):=ν(E＼S),ν_s(E):=ν(E∩S),f:=g/(1-g).と採ればよい。
>> 実際に,ν=ν_a+ν_sとなっているかチェックしてみると,
：
> μ(E) = μ(E ∩ A) + μ(E ∩ S) = μ(E ∩ A) です.

ありがとうございます。そのように採ればいいのですね。納得です。

>> ν_s:=(E)=ν(E∩S)はν_sの定義からうまくいっています。
>> f:=g/(1-g)でν_a(E)=∫_E fdμ<∞となっているか ("拡張された"の意味がよくわかりませんが
>> どのように拡張されたのでしょうか?)
> ∞ の値も許すというだけではありませんか.

ああ,そういう意味だったのですね。納得です。

>> チェックしてみると h_n:=(1+g+g^2+…+g^n)χ_E∈L^2(∵μ可積の定義)と置ける。
> μ + ν についての L^2 ですね. なお, ν = ν_+ - ν_- と
> 分解して, ν_+, ν_- について示せばよいということから,
> 命題 (イ) では ν も測度としてある筈です.

そのようです。

>> この時(2)より,h_n↑(1-g)^-1χ_E.…【1】 となっているのですが どうしてnを増やすと
>> (1-g)^-1χ_Eに近づくと分かるのでしょうか?
> 等比級数の和ですね.

ありがとうございます。としますとg<1の時はそうですね。
g=1の時も後述なさっている通りうまくいきますね。

>> そして,(4)より,h=h_n…【2】として∫_E (1-g^{n+1})dν=∫_E h_ngdμ
>> となっているのですがこれは(4)から ∫_E h(1-g)dν=∫_E h_ngdμで.
：
>             dν でしょう.

ありがとうございます。

>> となっているのですが一番目の式は lim_{n→∞}∫_E (1-g^{n+1})dμ=ν_a(E)
>> がどうして成り立つのか分かりません。 どうして
>> lim_{n→∞}∫_E (1-g^{n+1})dμ=ν(E＼S)(=ν_a)になるのでしょうか?
> 命題 (イ) (2) より, 0 ≦ g ≦ 1  (μ+ν)-a.e. ですから,
> x が命題 (イ) (3) での S の点でなければ 0 ≦ g(x) < 1 であり,

「一番目の式は lim_{n→∞}∫_E (1-g^{n+1})dμ=ν_a(E)」
↓
「一番目の式は lim_{n→∞}∫_E (1-g^{n+1})dν=ν_a(E)」
でした。すみません。

 0 ≦ g(x) < 1 の時は,g^{n+1}は単調減少なので1-g^{n+1})は単調増加
lim_{n→∞}∫_E (1-g^{n+1})dν=∫_E lim_{n→∞}(1-g^{n+1})dν(∵MCT)
=∫_E 1dν
=∫_E χ_Edν=ν(E)=ν(E＼φ)=ν_a(E)
と上手くいきました。

> lim_{n→∞} g(x)^n = 0, x ∈ S なら g(x) = 1 で,
> lim_{n→∞} g(x)^n = 1. つまり g^n は χ_S に収束します.
>  lim_{n→∞} ∫_E (1 - g^{n+1}) dν
>  = ∫_E lim_{n→∞} (1 - g^{n+1}) dν
>  = ∫_E (1 - χ_S) dν
>  = ν(E＼S) = ν_a(E).

ありがとうございます。OKです。


>> 二番目の式 lim_{n→∞}∫_E h_ngdμ=∫_E fdμについてもですが
：
> というだけのことです.

ありがとうございます。簡単でしたね。くだらん事ごちゃごちゃ計算しておりました。

>> あとν_a≪μとなっいるかチェックしてみると 上記でν_a(E)=∫_E fdμが示されたので
>>  μ(E)=0とすると,ν_a(E)=∫_E fdμ=0となる予定なのですが 測度0ならそのμ
>> 積分も0になる事はどうすれば言えますでしょうか?
> それは関数の積分の定義から明らかです.

どうもありがとうこざいます。

>> 最後にf∈L^1である事の証明は ∀E∈Mに対し,
>> ν_a(E)=∫_E fdμでEとしてSを採れば,∫_E fdμ=∫_S fdμ ν_a(S)=ν(E＼S)(∵νの定義) =ν(φ)=0<∞.
> ν_a に対して E = S とするのは無意味ですね. E = X と
> しましょう. f ≧ 0 で, ∫_X f dμ = ν_a(X) = ν(X＼S) < ∞
> は ν について仮定されています.

符号測度の定義からですかね。

今回での符号付測度の定義は
「(X,M)を可測空間とする。v:M→(-∞,+∞]は符号付測度
⇔(def)
可算加法性をなす」
で,f∈L^1である事ではなく積分値確定のみ言えばよさそうです。
"拡張されたμ可積関数f"の存在が問われているので。

> # きちんと何が仮定されているか, テキストから読み取らないと
> # 混乱するだけです. そういう情報を欠いた質問をされると,
> # 回答が出来ないこともあります.

これは失礼いたしました。以後気をつけたいと思います。