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From: eurms@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: =?ISO-2022-JP?Q?Quiz=5F06iv2004=1B$B!J2rEz!K=1B(B?=
Date: 13 Apr 2004 07:11:20 -0700
Organization: http://groups.google.com
Lines: 53
Message-ID: <800c7853.0404130611.3be17e79@posting.google.com>
References: <800c7853.0404051222.60807e06@posting.google.com>
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X-Trace: posting.google.com 1081865480 25747 127.0.0.1 (13 Apr 2004 14:11:20 GMT)
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NNTP-Posting-Date: Tue, 13 Apr 2004 14:11:20 +0000 (UTC)
Xref: ccsf.homeunix.org fj.sci.math:789

eurms@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote in message news:<800c7853.0404051222.60807e06@posting.google.com>...
> 以下に引用するのは、有名な『解析概論』（高木貞治；著）からのもの（同書 p.37）である
> ---- もっとも、これは著者（高木貞治）の創案ではなく、恐らくは、A.L.Cauchy(1789-1857)
> あたりからの「孫引き」であろうと思われる ---- が、これには著者の --- 従って、Cauchy(?)も ----
> 気づかなかった≪錯誤≫がある。 それを見抜いて指摘せよ。　
> 
> 
> 
> "f'(x)・△x を点x における函数y=f(x) の微分と名づけて、それを dy で表わすことに
> する．すなわちこの定義によれば
> 
> 　　　　　　　　　　　　 dy＝f'(x)・△x.　　　　　　　　　　　　(4)
> 
> 今同様の意味において、x それ自身をx の函数とみれば、x'＝１だから、
> 
> 　　　　　　　　　　　     dx＝△x.
> 
> 故に上記の定義の下において、△x はx の函数なる x の微分である．これを (4) に
> 代入すれば、
> 
> 　　　　　　　　　　　　dy＝f'(x)dx　　　　　　　　           (5)
> 
> これを
> 
> 　　　　　　　　　　　   dy/dx＝f'(x)                      　(6)
> 
> と書くならば、記号dy/dx においてdx および dy が各々独立の意味を有するから、
> dy/dx は商としての意味を有する。"



【解答】


dx＝△x　が成立するのは、 y＝x という〔＊特殊な函数＊の場合〕に限ってのことである。

従って、〔 y＝f(x) が ＊(微分可能な)任意の函数＊である場合〕の

　　　　　　　　　　　　dy＝f'(x)・△x  -----------------------  (4)

に、△x＝dx として代入することは許されない（！）。

もしも、そんなことが許されるのであれば、y＝x の場合には dy＝dx＝△x であるのだから、dy＝△x も (4) に代入できる筈であり、そうすると、

　　　　　　　　　　　　△x＝f'(x)・△x

　　　　　　　　　　　　∴　 f'(x)＝１

となってしまい、「y＝f(x) は＊(微分可能な)任意の函数＊である」という仮定に反し、
不合理である。

よって、(4) でdy を定義してみたところで、それから dy/dx＝f'(x) が導けるわけでは
ない ■