ご回答大変ありがとうございます。

> 留数の定理の応用問題ですね.
>  Res_{z=1}(3z^3/((z-1)(z+1)(4z^2-1))) = 3/(2×3) = 1/2
>  Res_{z=-1}(3z^3/((z-1)(z+1)(4z^2-1))) = (-3)/(-2×3) = 1/2
>  Res_{z=1/2}(3z^3/(4(z^2-1)(z-1/2)(z+1/2)) = (3/8)/(4×(-3/4)×1) = -1/8
>  Res_{z=-1/2}(3z^3/(4(z^2-1)(z-1/2)(z+1/2)) = (-3/8)/(4×(-3/4)×(-1))
> = -1/8
> を使うのが簡単だと思います.

そうでした。留数の定理を忘れておりました。留数定理ででも-3πi/2となりました。

>> のように4重連結領域に対するCauchyの積分定理と
>> 周回積分の公式を利用して解きました。
> 部分分数展開するなら, 4重連結領域を考える必要は
> ないだろうと思います.

そうですね。特にC_1,C_2,C_3,C_4の方程式は使ってませんね
孤立特異点を持つなら,夫々を互いに交わらない,単純閉曲線で囲めるという事さえ知っていれば十分ですね。

>> 最後に曲線Cは時計回りなので符号が負になるかと思います。
>  3z^3/((z^2-1)(4z^2-1))
：
>  = (1/2)/(z-1) + (1/2)/(z+1) - (1/8)/(z-1/2) - (1/8)/(z+1/2)
> としておいたほうが良い.

そうでした。各分母のzの係数は1に統一しておく必要がありましたね。

>> これで正しいでしょうか?
> z = a を正の向きに一周する閉曲線 C 上での積分
> ∫_C 1/(z - a) dz = 2πi ですが,
> ∫_C 1/(2z - 2a) dz は 2πi ではありません. πi です.

そうでした。

> ということで, |z-i| = 3 を負の向きに一周する閉曲線を C とすれば,
>  ∫_C 3z^3/((z^2-1)(4z^2-1)) dz
>  = ∫_C {(1/2)/(z-1) + (1/2)/(z+1) - (1/8)(z-1/2) - (1/8)(z+1/2)} dz
>  = - 2πi×{(1/2) + (1/2) - (1/8) - (1/8)}
>  = - (3/2)πi
> となります. 貴方の計算は正しくありません.

ありがとうございます。納得です。

> # 無限遠点で考える手もあります.

どのようにするのでしょうか?