Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!border3.nntp.dca.giganews.com!border1.nntp.dca.giganews.com!nntp.giganews.com!npeer02.iad.highwinds-media.com!news.highwinds-media.com!feed-me.highwinds-media.com!postnews.google.com!dq9g2000vbb.googlegroups.com!not-for-mail From: KyokoYoshida Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: L(r, $B&V (B)=1/(r-1)! $B!& (B(-2 $B&P (Bi/N)^r $B!& (B1/2 $B&2 (B_{a $B": (BZ_N^ $B!_ (B} $B&V (B(a)h_r( $B&F (B_N^a) $B$N>ZL@ (B Date: Fri, 3 Jun 2011 11:42:51 -0700 (PDT) Organization: http://groups.google.com Lines: 86 Message-ID: <69fa46dd-d9be-4b4f-80a9-c08ff27a50af@dq9g2000vbb.googlegroups.com> References: <985ebdb5-6ccb-4a70-a6a8-c01763df8057@d27g2000vbz.googlegroups.com> <110509193002.M0117506@ras1.kit.ac.jp> <110526172900.M0124617@ras1.kit.ac.jp> NNTP-Posting-Host: 128.238.249.153 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Trace: posting.google.com 1307126571 11266 127.0.0.1 (3 Jun 2011 18:42:51 GMT) X-Complaints-To: groups-abuse@google.com NNTP-Posting-Date: Fri, 3 Jun 2011 18:42:51 +0000 (UTC) Complaints-To: groups-abuse@google.com Injection-Info: dq9g2000vbb.googlegroups.com; posting-host=128.238.249.153; posting-account=WW-P-goAAADS1u9yskwAcJfIST-zvGgd User-Agent: G2/1.0 X-Google-Web-Client: true X-Google-Header-Order: ARLUEHNKC X-HTTP-UserAgent: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 8.0; Windows NT 5.1; Trident/4.0; GTB6.6; InfoPath.2),gzip(gfe) Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3360 ご回答誠に有難うございます。 > 工繊大の塚本です. >> t=exp(2πi x)とζ_N=exp(2πi/N)とからどうしてt=(ζ_N)^aとなるのでしょうか? > t = (\zeta_N)^a に対して命題 3.3 を適用しようという話です. > t = (\zeta_N)^a = \exp(2 \pi i x) となる x を定めて, > 命題 3.3 を適用するわけです. http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__09.JPG でいいのですね。 >> r=1の場合はどのようにしてL(r,χ)に辿り着けるのでしょうか? >> 1/4Σ_{n∈Z}(Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/(a+Nn)+Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/(a-Nn)) >> から先に進めません。 > \chi(-1) = -1 という条件から, 実は, > \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m は収束します. > ( Abel の定理を使います.) ： > と, -n を n と置いたり, -m を m と置いたりしながら, > 最後は \chi(-m) = \chi(-1) \chi(m) = - \chi(m) を用いて, > 書き直せるわけですが, そのように書き直せますね。 > \sum_{n > 0} \sum_{Nn < m < N(n+1)} \chi(m)/m > = \sum_{m=N}^\infty \chi(m)/m > も, > \sum_{n > 0} \sum_{Nn-N < m < Nn} \chi(m)/m > = \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m > も収束するので, 『Suppose f(x)=Σ_{k=0}^∞a_kx^k has radius of convergence R=1, and that Σ_{k=0}^∞a_k converges. Then lim_{x→1-0}f(x)=Σ_{k=0}^∞a_k.』 がAbelの定理ですよね。 Σ_{m=N}^∞χ(m)/m=χ(N+1)/(N+1)+χ(N+2)/(N+2)+χ(N+3)/(N+3)+… =χ(1)/(N+1)+χ(2)/(N+2)+χ(3)/(N+3)+… (∵今,χは法NのDirichlet characterなのでDirichlet characterの定義) からAbelの定理をどのように利用すればいいのでしょうか? > \sum_{n > 0} (\sum_{Nn < m < N(n+1)} \chi(m)/m > + \sum_{Nn-N < m < Nn} \chi(m)/m) > = \sum_{n > 0} \sum_{Nn < m < N(n+1)} \chi(m)/m > + \sum_{n > 0} \sum_{Nn-N < m < Nn} \chi(m)/m > = \sum_{m=N}^\infty \chi(m)/m + \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m > となり, > \sum_{n \in Z} (\sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a + Nn) > + \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a)/(a - Nn)) > = 4 \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m > が成立します. つまり, r=1の時, http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_4__10.JPG http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__11.JPG http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__12.JPG http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__13.JPG http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__14.JPG http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__15.JPG http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__16.JPG http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__17.JPG http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__18.JPG http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__19.JPG http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem_3_4__20.JPG という具合に計算できたのですが最後で 1/4(Σ_{m=N+1,m≠nN}^∞χ(m)/m+Σ_{m=-1,m≠-nN}^-∞χ(m)/m+Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/a +Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)/a+Σ_{m=-1,m≠-nN}^-∞χ(m)/m+Σ_{m=N+1,m≠nN}^∞χ(m)/m) からどうやって =1/4(4 \sum_{m=1}^\infty \chi(m)/m) に持っていけるのでしょうか? >> 因みにL(r,χ)でのrはr=1では定義されてまんよね(∵Dirichlet's L関数の定義)? > \chi(-1) = -1 という条件から, L(1, \chi) は収束することが > 保証されていて, 定義されます. > 現に, \S 3.1 の公式 (3.2), (3.4) は r = 1 の時であり, > L(1, \chi) の値から得られています. つまり,L(s,χ)の定義がよく分かっておりませんでした。 L(s,χ)のsの定義域は{s∈C;Re(s)>1}とは限らずL(s,χ)が収束するようなs全体と言えるのでしょうか? そうしますと [定義] Let m∈N and χ^(m)∈DC(m). Then we definite Map({s∈C;Re(s)>1} ×DC(m),C)∋L(,); L(s,χ^(m)):=Σ_{n=1}^∞χ^(m)(n)/n^s is called Dirichelt L function about χ. という定義は間違いでしょうか?