いつも大変お世話になっております。

Res_{z=3}(z^4+1)/(z-3)^4を求めたいのですが
Res_{z=3}(z^4+1)/(z-3)^4
=Res_{z=3}(z^4+1)/(-1/3(1-z/3)^4)
=Res_{z=3}-3(z^4+1)/(1-z/3)^4
=Res_{z=3}-3(z^4+1)Σ_{k=0}^∞ (z/3)^4
となりました。
ここから
(z-3)のべき級数として表した時の-1次の項の係数が求める留数になろうかと思います。
-3(z^4+1)Σ_{k=0}^∞ (z/3)^4を(z-3)のべき級数の形に変形しても-1次の項は明らかに現れないと分かるので

Res_{z=3}-3(z^4+1)Σ_{k=0}^∞ (z/3)^4
=Res_{z=3} 0/(z-3)+Σ_{k=0}^∞ a_k (z-3)^kと変形される。

従って,

=0

という風に留数は0になったのですがこれで正しいでしょうか?


吉田京子