ご回答大変ありが打とうございます。


>> (max{0,(x_{m,1}-r_n)),x_{m,1}+r_n)と書きたかったのでした。
> (max{0, (x_{m,1} - r_n)}, x_{m,1} + r_n) ですか.

はい,さようです。


>> ([x_{m,i}-r_n,x_{m,i}+r_n)ですね。
> (x_{m,i} - r_n, x_{m,i} + r_n).

どうもありがとうございます。


>> y=(y_1,∞,∞,…,∞)の場合は
> 無限遠点 ∞ は R^{d-1} の点ではないので, (∞, ∞, ... , ∞)

R^dに関して点を表すというのは(y_1,y_2,…,y_d)と書いた場合にy_1,y_2,…,y_d∈Rの時を意味するのですよね。

> と書くのは適切ではないです.

∞は集合で(∞, ∞, ... , ∞)はd組の対集合ですから必ずしも点を表しているとは限らないのですが…。
誤解してますでしょか?

> nbhd(y,δ):=(max{0,y_1-1/δ},y_1+1/δ)×Π_{i=2}^d (δ,∞)
>> ⊂ψ(E)なる0<δ∈Rが採れる。 (∵無限遠点の開集合の定義)
> R^{d-1} の無限遠点の開近傍は Π_{i=2}^d (δ, ∞) では駄目です.
>  { x ∈ R^{d-1} | Σ_{i=2}^d |x_i| > δ } ∪ {∞}
> とか,
>  { x ∈ R^{d-1} | ∃i, |x_i| > δ } ∪ {∞}
> とか. ま, 自然数の δ についての可算個を取るとして,
> 後は適宜お考え下さい.

これは参考になります。
(∞,∞,…,∞)⊂(max{0,y_1-1/δ},y_1+1/δ)×Π_{i=2}^d (δ,∞)とはならないので
{∞}を付け足さないとだめだという事ですね。
{ x ∈ R^{d-1} | Σ_{i=2}^d |x_i| > δ }⊂{ x ∈ R^{d-1} | x_i> δ (i=2,3,
…,d)}ですよね。
ちょっと訂正して
nbhd(y,δ):=(max{0,y_1-1/δ},y_1+1/δ)×Π_{i=2}^d (δ,∞]という定義でもいいでしょうか?