ご回答大変ありがとうございます。

>> 題意はf(x+iy)をzで表せと言ってるのだと思います(でないとあまりにも簡単すぎる)が
>> f(x+iy)=1+ln(x^2+y^2)+i(-2arctan(x/y)+C_2)と答えては駄目なのでしょうか?
> 形式的には誤りではありませんが, 解析関数になっていることが
> 分かるように書くのが嗜みというものです.

収束する冪級数で与えられた変数の関数を解析関数というのですよね。

f(z)=1+iC+2log z なら 公式log(1+z)=Σ_{k=1}^∞ (-1)^{k-1}z^k/k より
1+iC+2log z = 1+iC+2log(1+(z-1)) = 1+iC+2Σ_{k=1}^∞ (-1)^{k-1}(z-1)^k/k

ここで2Σ_{k=1}^∞ (-1)^{k-1}(z-1)^k/kは z-1>1の時, lim_{k→∞} (z-1)^k/k=∞なので
交項級数についての命題
「交項級数Σ_{i=1}^∞ a_i x^i が収束する ⇔ lim_{n→∞} |a_n|x^n = 0」
から|z-1|≦1の時,lim_{k→∞} (z-1)^k/k =0 なので,
|z-1|≦1の時,1+iC+2Σ_{k=1}^∞ (-1)^{k-1}(z-1)^k/kは収束するとわかりますね。

f(x+iy)=1+ln(x^2+y^2)+i(-2arctan(x/y)+C_2)の書いたら,これのべき級数はどんな形をしているか分かりづら
いし,
収束する範囲も分かりづらいのですね。