Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!border1.nntp.dca.giganews.com!nntp.giganews.com!postnews.google.com!x6g2000vbg.googlegroups.com!not-for-mail From: kyokoyoshida123@gmail.com Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: S $B$, (Bsimilarity $B$J$i (BS $B$O@~J,$r@~J,$X References: <619650c5-32c3-4774-8567-6a04b7cad756@p6g2000pre.googlegroups.com> <090427015340.M0613098@cs2.kit.ac.jp> <7b64eb83-d180-4ee9-9cb9-1004e3294463@d38g2000prn.googlegroups.com> <090427173623.M0223233@cs1.kit.ac.jp> <0fc6af1a-8953-4530-a3b4-895f073bebec@s20g2000vbp.googlegroups.com> <090503231652.M0312290@cs2.kit.ac.jp> <818be51f-4fa7-4580-beb1-cdc11e88c307@n4g2000vba.googlegroups.com> <090509161620.M0229929@cs1.kit.ac.jp> <1a181765-d61f-4c32-b124-1adf2b49847f@s16g2000vbp.googlegroups.com> <090511173407.M0223782@cs2.kit.ac.jp> <7fec6bf8-df7c-4eb2-afb8-ca762264dc72@v4g2000vba.googlegroups.com> <090513001527.M0225427@cs2.kit.ac.jp> <7e38606c-d7bb-4e57-b543-80cc30329105@k9g2000pra.googlegroups.com> <090517195217.M0225435@cs1.kit.ac.jp> NNTP-Posting-Host: 208.120.248.226 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Trace: posting.google.com 1242677491 27820 127.0.0.1 (18 May 2009 20:11:31 GMT) X-Complaints-To: groups-abuse@google.com NNTP-Posting-Date: Mon, 18 May 2009 20:11:31 +0000 (UTC) Complaints-To: groups-abuse@google.com Injection-Info: x6g2000vbg.googlegroups.com; posting-host=208.120.248.226; posting-account=WW-P-goAAADS1u9yskwAcJfIST-zvGgd User-Agent: G2/1.0 X-HTTP-UserAgent: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.1; SV1),gzip(gfe),gzip(gfe) Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2826 ご回答大変有難うございます。 >> この証明ではダメなんですね。 > 分かって省略しているのなら何でも良いのですが, > 既にそうでない場合が多いことが分かっていますので. すいません。 >> 背理法で|x-z|+|z-y|=|x-y|であるにも拘らずもし,zがxy上に無かったとしたら >> 三角形の定理「三角形ABCに於いて,辺BCの長さは辺ABと辺ACの長さ未満である」 >> に反する。 よって,zは線分xy上になければならない。 > なるほど初等幾何ですか. で, ユークリッド空間でその > 三角形の定理が成立することはどう証明されますか. えーとそれは△ABCにおいて仮にBC+CA=ABだとすると 点Aと点Bを結ぶ線でもっとも短いのは線分ABである。 ここで点Cを線分AB上以外にとるとBC+CA>ABとなる(∵線分の最短性)。 よって,点Cは線分AB上になければならない。 この時,3点A,B,Cを結んだものは三角形にならないので矛盾。 よってBC+CA=ABは有り得ず,BC+CA>ABとなる。 でいいでしょうか? > この「それ」というのは「 |x - y| = |x - z| + |z - y| > なら z は直線 xy 上にある」です. >> これもダメでしたか。 > だから, それは誤読というものですが, 失礼いたしました。 >> (OX→)-(OZ→)=(ZX→) (OZ→)-(OY→)=(YZ→) (OX→)-(OY→)=(YX→) なので ： > ですから, まあ, 結構でしょう. 有難うございます。 > 私なら, 角度が π > だから線分上にある, といった初等幾何的な話は使わずに, ： > 導きますが. OZ = (1/(|ZX| + |ZY|)) (|ZY| OX + |ZX| OY) =(1-|ZX|/(|ZX|+|ZY|))OX + |ZX|/(|ZX|+|ZY|)OY =OX + |ZX|/(|ZX|+|ZY|) (OY-OX) でt:=|ZX|/(|ZX|+|ZY|)と採れるのですね。 これなら分かり易いですね。 >> うーん,でもそうしますと, S''(a_1OX_1+a_2OX_2)から >> どうやってa_1S''(X_1)+a_2S''(X_2)が 導けますでしょうか? > S'' が, 直線を直線に写すこと, x,yを通る直線の定義は{z;z=x+t(y-x),t∈R}=:L(x,y)ですよね。 今,r=1なのでD_{1/r}は何もしないので恒等変換と看做せますよね。 よってS''の定義はS'':=S'と言え,S'はsimilarlityであったからS'は線分を線分に写す。 よって,S''もsimiarlityで線分を線分に写す。 任意の線分を線分に写すのだから,直線を直線に写す (∵もし直線が直線に写されない場合はL(x,y)⊃Z:線分がS''(Z)が線分にならないとなる線分Zがある筈である。 しかし,これは(a)のsimilarlityは線分を線分に写すという事に反する) > 射影を射影に写すこと, 各軸への射影の像OX_1,OX_2,…,OX_dはOS''(X_1),OS''(X_2),…,OS''(X_d)に写さ れ,OS''(X_1),OS''(X_2),…,OS''(X_d)は正規直交と既に分かったので,OS''(X_1),OS''(X_2), …,OS''(X_d)もやはり各 OS''(X_1),OS''(X_2),…,OS''(X_d) という軸への射影の像である。 > r = 1 なので長さを変えないこと, を使えば良い. よって,S''(Z)=S''(Σ_{i=1}^d a_i OX_i)=Σ_{i=1}^d b_i S''(OX_i) (∵今,r=1より) =Σ_{i=1}^d b_i OS''(X_i) よって,任意の点A,Bと任意のスカラーa,bに対し,aOA=Σ_{i=1}^d,OX_i bOB=Σ_{i=1}^d OX_iと表す事にすると S''(aOA+bOB)=S''((a+b)Σ_{i=1}^d OX_i)から (a+b)Σ_{i=1}^d OS''(X_i)はどうすれば言えますでしょうか? >> すいません。では, 4次以上では直交行列が単に回転の表現行列になっているとは >> 言えるようなものではないとはどういう意味でしょうか? > それを後に示したのですが, 誤読されているようですね. そうですか。すいません。 >> これはつまり,線形写像の表現行列は定義域と値域との基底によって定まる。 > 今考えているのは線形変換ですから, 定義域と値域との基底は > 同じものを取ります. はい。 >> よって,直交変換の表現行列は基底の取り方によっては 直交行列にはならないという意味でしょうか? > 正規直交基底についての表現行列は直交行列ですが, > [[ 1, 0, 0], > [ 0, cos θ, - sin θ], > [ 0, sin θ, cos θ]] > という形とは限らない. えーと,{e_1,e_2,e_3}を正規直交基底とする(e_1,e_2,e_3は単位行ベクトル)と, 回転は [[cosθ,-sinθ,0], ±[ sinθ, cosθ, 0], [ 0, 0, 1]] [[ sinθ, cosθ, 0], ±[ cosθ,-sinθ, 0], [ 0, 0, -1]] [[-1, 0, 0], ±[ 0, sinθ, cosθ], [ 0, cosθ,-sinθ]] [[1, 0, 0], ±[ 0, cosθ, -sinθ], [ 0, sinθ, cosθ]] ±(e_2,-e_1,e_3) ±(-e_2,e_1,e_3) ±(e_2,-e_1,-e_3) ±(e_3,-e_2,e_1) ±(e_3,e_2,-e_1) ±(e_3,e_2,-e_1) ±(-e_1,e_3,e_2) ±(e_1,-e_3,e_2) ±(e_1,e_3,-e_2) improperな回転は [[ cosθ,-sinθ,0], ±[ sinθ, cosθ, 0], [ 0, 0, -1]] [[ sinθ, cosθ, 0], ±[ cosθ,-sinθ, 0], [ 0, 0, 1]] [[ 1, 0, 0], ±[ 0, sinθ, cosθ], [ 0, cosθ,-sinθ]] [[-1, 0, 0], ±[ 0, cosθ, -sinθ], [ 0, sinθ, cosθ]] ±(-e_1,e_2,e_3) ±(e_1,-e_2,e_3) ±(e_1,e_2,-e_3) ±(e_2,e_1,e_3) ±(e_3,e_2,e_1) ±(e_1,e_3,e_2) があるのですね。 >> その場合は直交変換は回転を必ずしも表しているわけではなく >> 単に内積を保存するだけ線形写像なのですね。 > 3 次元空間なら, det = 1 のものは普通に言う回転で, > 回転軸が決まります. それは表現行列には依らない性質です. つまり, 直交変換⇔回転 ではなくて det=1⇔回転 なのですね。これが回転の定義なのですね。 >> 任意の直交行列は表現行列が下記のようになるように 上手く正規直交基底を選べるのですね。 >>> det P = 1 のものについては, n = 2m 又は 2m + 1 として, 回転の行列を >>> R(θ) = [[cos θ, - sin θ], [sin θ, cos θ]] として, R(θ_1), >>> R(θ_2), ... , R(θ_m) を 対角に並べ( n = 2m + 1 のときは 1 を付け加え)た行列 になります. >> これは有難うございます。とても参考になります。 表現行列がこのように表せる直交変換を回転というのですね。 > それは「回転」というのをどう定義するか, によることです. 本問題ではrotationは直交変換の事と定義して解釈してご解説なさっているのですよね。 > [[ cos θ_1, - sin θ_1, 0, 0], > [ sin θ_1, cos θ_1, 0, 0], > [ 0, 0, cos θ_2, - sin θ_2], > [ 0, 0, sin θ_2, cos θ_2]] > のように表示出来ますが, 一般に θ_1 と θ_2 が > 一致するわけではありません. 有難うございます。この行列式は1ですね。 > その行列の行列式は 1 ですね. 行列式が -1 になる > 4 次の直交変換は, 上手く正規直交基底を選べば, > [[ cos θ, - sin θ, 0, 0], > [ sin θ, cos θ, 0, 0], > [ 0, 0, 1, 0], > [ 0, 0, 0, -1]] > のように表示出来ます. これもありがとうございます。行列式は-1ですね。improperな回転の時には, R(θ_2), ... , R(θ_m) を 対角に並べn = 2mの時でも1を付け加え)た行列になるのですね。. a:=[cosθ_1,-sinθ_1], b:=[ sinθ_1, cosθ_1], e_1,e_2,e_3,e_4 からaとbのセットを偶数個と残りはe_1,…,e_4からジョルダン標準形 J:= [[a,0,0], [b,0,0], [0,1,0], [0,0,1]] という風になるように並べる(因みにこのJはdet(J)=1なので回転を表す)。 これらの行の入れ替えや或る行を-1倍したものもまた(improperな)回転となる。 これらの操作を偶数回行ったものは回転,奇数回はimproperな回転となる。 よってn=5の場合は, J_1:=E(:単位行列) の時,det(J_1)=1 J_2:= [[cosθ_1,-sinθ_1,0,0,0], [sinθ_1, cosθ_1,0,0,0], [0, 0, 1,0,0], [0, 0, 0,1,0], [0, 0, 0,0,1]] の時,det(J_2)=1 J_3:= [[cosθ_1,-sinθ_1, 0, 0, 0], [sinθ_1, cosθ_1, 0, 0, 0], [0, 0, cosθ_2,-sinθ_2,0], [0, 0, sinθ_2, cosθ_2, 0], [0, 0, 0, 0, 1]] の時,det(J_3)=1 が考えられ,各行列に (行入れ替え)+(行を-1倍) という操作が偶数回のものは回転,奇数回のものはimproperな回転。 n=6のと場合は, J_1:=E(:単位行列) の時,det(J_1)=1 J_2:= [[cosθ_1,-sinθ_1,0,0,0,0], [sinθ_1, cosθ_1,0,0,0,0], [0, 0, 1,0,0,0], [0, 0, 0,1,0,0], [0, 0, 0,0,1,0], [0, 0 0,0,0,1]] の時,det(J_2)=1 J_3:= [[cosθ_1,-sinθ_1, 0, 0, 0,0], [sinθ_1, cosθ_1, 0, 0, 0,0], [0, 0, cosθ_2,-sinθ_2,0,0], [0, 0, sinθ_2, cosθ_2, 0,0], [0, 0, 0, 0, 1,0], [0, 0, 0, 0, 0,1]] の時,det(J_3)=1 J_4:= [[cosθ_1,-sinθ_1, 0, 0, 0, 0 ], [sinθ_1, cosθ_1, 0, 0, 0, 0 ], [0, 0, cosθ_2,-sinθ_2, 0, 0 ], [0, 0, sinθ_2, cosθ_2, 0, 0 ], [0, 0, 0, 0, cosθ_3,-sinθ_3], [0, 0, 0, 0, sinθ_3,cosθ_3]] の時,det(J_4)=1 が考えられ,各行列に (行入れ替え)+(行を-1倍) という操作が偶数回のものは回転,奇数回のものはimproperな回転。 以下n=7,… の場合も同様。 となるのですね。