Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!border1.nntp.dca.giganews.com!nntp.giganews.com!postnews.google.com!y34g2000prb.googlegroups.com!not-for-mail From: kyokoyoshida123@gmail.com Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: $B&5$, (BC^ $B5i (B, $BA4C1 References: <090427015039.M0513098@cs2.kit.ac.jp> NNTP-Posting-Host: 208.120.248.226 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Trace: posting.google.com 1240802466 6880 127.0.0.1 (27 Apr 2009 03:21:06 GMT) X-Complaints-To: groups-abuse@google.com NNTP-Posting-Date: Mon, 27 Apr 2009 03:21:06 +0000 (UTC) Complaints-To: groups-abuse@google.com Injection-Info: y34g2000prb.googlegroups.com; posting-host=208.120.248.226; posting-account=WW-P-goAAADS1u9yskwAcJfIST-zvGgd User-Agent: G2/1.0 X-HTTP-UserAgent: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.1; SV1),gzip(gfe),gzip(gfe) Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2725 ご回答大変有難うございます。 >> ΦはC^1級の全単射でΦ:O→O' (但し,O,O'はR^dの開集合)とする。 >> (a)についてはExercise8を使うには,Φが線形変換である事を言えばいいのですよね。 >> C^1級全単射からどうやってΦが線形である事が言えるのでしょうか? > Φ が線形である筈がないでしょう. Hint は > 「 Exercise 8 での論法を踏襲せよ」と言っているので, > Exercise 8 に帰着して片が付くというわけではありません. > お考え直し下さい. すいません。C^1級と全単射という条件だけからどうやってΦ(E)もLebesgue可測を引き出せるのでしょうか? >> (b)については >> 『Eが有界開集合ならばE=∪_{j=1}^∞ Q_j >> (但し,diamQ_j<εなQ_jは立方体で内核は互いに素,)と書ける。 >> この時,z_kをQ_kの中心とするとx∈Q_kなら >> Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(ε)』 >> このo(ε)の定義が見当たりませんで。。 > o(ε) でしょう. o は Landau の記号です. ありがとうございます。つまり,lim_{x→∞}|ε/x^α|≦∃K∈Rの時,o(ε)=αなのですね。 >> どうしてΦ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(E)と書けるのでしょうか? > (多変数での) Taylor の公式ですね. |x - z_k| < ε に注意します. 多変数のTaylor展開とは Φ(x_1+h_1,x_2+h_2,…,x_d+h_d)=Φ(x_1,x_2,…,x_d)+DΦ(x_1,x_2,…,x_d)+1/2! D^2Φ(x_1,x_2,…,x_d)+…+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x_1,x_2,…,x_d)+o(ε) (但し,D:=∂Φ/ ∂x_1+∂Φ/∂x_2+…+∂Φ/∂x_d)ですね。|x - z_k|<εから (x_1,x_2,…,x_d):=x, (h_1,h_2,…,h_d):=z_kと見立てると Φ(x-z_k)=Φ(x)+DΦ(x)+1/2!D^2Φ(x)+…+1/(n-1)!D^{n-1}Φ(x)+o(ε)となるのですね。 Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(ε)は一階微分したTaylor展開だと思いますがその場合, Φ(x-z_k)=Φ(x)+DΦ(x)+o(ε)でΦ(x-z_k)=Φ(x)+(∂Φ/∂x_1+∂Φ/∂x_2+…+∂Φ/∂x_d)Φ(x) +o(ε)となりますね。 それからΦ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(ε)に辿り着くにはどのように変形すればいいのでしょうか? >> 『従って,Φ(Q_k)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε)で結果として >> (1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂Φ(Q_k)-Φ(z_k)⊂(1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k), >> 但し,ε→0の時, η(ε)→0.』 >> Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(E)から >> Φ(Q_k)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε)とどう >> してなるのでしょうか? > これは, 集合の像が, どういう集合に含まれているか, を > 象徴的に書いたものです. つまり,Φ(Q_k)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε)は "∀x∈{x∈Q_k;|x-z_k|<ε}に対して,Φ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(ε)"という事を意味しているので すね。 > Q_k の点の像は, z_k の像に > z_k を始点とし, Q_k の点を終点とするベクトルの > Φ'(z_k) での像を加えたものと, ε より小さな誤差で > 一致する, というわけです. 誤差をきちんと書けば, > (1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂Φ(Q_k)-Φ(z_k)⊂(1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k), > となるという主張です. ∀x∈{x∈Q_k;|x-z_k|<ε}に対してΦ(x)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(x-z_k)+o(ε)ならQ_kは有界なので適当なε で Φ(Q_k)=Φ(z_k)+Φ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε)と書けるのですね。 これからΦ(Q_k)-Φ(z_k)=Φ'(z_k)(Q_k-z_k)+o(ε)で -η(ε)Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂o(ε)⊂η(ε)Φ'(z_k)(Q_k-z_k)なるεの関数η(ε)が存在するのですね。 これは∀x∈{x∈Q_k;|x-z_k|<ε}に対して-η(ε)Φ'(z_k)(x-z_k)≦o(ε)≦η(ε)Φ'(z_k)(x-z_k)の 象徴なのですね。 ところで関数ηの定義域は(0,∞)でしょうが値域は何になるのでしょうか? >> 『これはProblem4でのLebesgue測度の線形変換性から >> ε→0の時, >> m(Φ(O))=Σ_k m(Φ(Q_k))=Σ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1)を意味する』 >> m(Φ(O))=Σ_k m(Φ(Q_k)は有限和でなく可算和ですよね。 >> 可算和に関して線形性が使えるのでしょうか? > それぞれの Q_k について議論して, 可算個足し合わせます. ε→0の時 lim_{ε→0}(-η(ε)Φ'(z_k)(Q_k-z_k))=lim_{η(ε)→0}(-η(ε)Φ'(z_k)(Q_k-z_k)) lim_{ε→0}(η(ε)Φ'(z_k)(Q_k-z_k))=lim_{η(ε)→0}(η(ε)Φ'(z_k)(Q_k-z_k)) からそれぞれどんな値になって, m(Φ(O))=Σ_k m(Φ(Q_k))=Σ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1) が言えるのでしょうか? >> Σ_k m(Φ(Q_k))=Σ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1)はProbem4を使うなら >> Σ_k m(Φ(Q_k))=Σ_k |det(Φ)|m(Q_k)となるのではないでしょうか? > Φ は線形写像ではありません. そうでしたね。 > m((1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)) > ≦m(Φ(Q_k)-Φ(z_k)) > ≦m((1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)) > から, -η(ε)Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂o(ε)⊂η(ε)Φ'(z_k)(Q_k-z_k)から (1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂(Φ(Q_k)-Φ(z_k))⊂(1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k) はどうして言えるのでしょうか? (1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)⊂(Φ(Q_k)-Φ(z_k))⊂(1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k)が言えれば m((1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k))≦m(Φ(Q_k)-Φ(z_k))≦m((1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k- z_k)) は単調性ですね。 > (1 - η(ε))^d |det(Φ'(z_k))| m(Q_k) > ≦ m(Φ(Q_k)) > ≦ (1 + η(ε))^d |det(Φ'(z_k))| m(Q_k) > が成立するところで Φ'(z_k) の線形性を使います. m((1-η(ε))Φ'(z_k)(Q_k-z_k))≦m(Φ(Q_k)-Φ(z_k))≦m((1+η(ε))Φ'(z_k)(Q_k- z_k)) から (1-η(ε))^d|det(Φ'(z_k))|m(Q_k)≦m(Φ(Q_k))≦(1+η(ε))^d|det(Φ'(z_k))|m (Q_k) はどうして言えるのでしょうか? どうしてΦ'(z_k)は線形になるのでしょうか? >> そしてΣ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1)から >> m(Φ(E))=∫_E |detΦ'(x)|dxがどうして言えるのでしょうか? > |detΦ'(x)| は連続関数ですから, どうして|detΦ'(x)| は連続関数と分かるのでしょうか? > Riemann 積分と Reimann積分するのに連続という条件が必要なんでしょうか? > 考えてそうなりますね. Σ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1)を積分すると ∫_E(Σ_k |det(Φ'(z_k))|m(Q_k)+o(1))dx=,,, でこれからどのように計算できますでしょうか? >> あと,Eが有界開集合でない場合はどうすればいいのでしょうか? > 有界集合の時に, 開集合で近似して証明し, > 有界集合でないときは, 有界集合の可算和に分けて > 議論すれば良いでしょう. えーと,E_1,E_2,…をE=∪_{i=1}^∞E_iなる互いに素な有界開集合とすると 今,有界開集合Eに対してはm(Φ(E))=∫_E |detΦ'(x)|dxが言えたのだから m(Φ(E_i))=∫_E_i |detΦ'(x)|dxで m(Φ(E))=m(Φ(∪_{i=1}^∞E_i))=m(∪_{i=1}^∞Φ(E_i)) (∵??) Σ_{i=1}^∞m(Φ(E_i))(∵可算加法性) =Σ_{i=1}^∞∫_E_i |detΦ'(x)|dx (∵有界開集合Eに対してm(Φ(E))=∫_E |detΦ'(x)|dxは証明済 み) =∫_{∪_{i=1}^∞E_i} |detΦ'(x)|dx (∵Lebesgue積分の性質) =∫_E |detΦ'(x)|dx でいいのでしょうか? E=∪_{i=1}^∞E_iの箇所はどうやって証明すればいいのでしょうか? >> (c)については(b)を利用するみたいですが >> どのように利用して∫_O' f(y)dy=∫_O f(Φ(x))|detΦ'(x)|dxが得られる >> のでしょうか? > f が単関数の時どうなるか, から始めては如何でしょうか. 了解しました。単関数fのcanonical formをf=Σ_{i=1}^m a_i χ_{O'_i} (但し,R∋a_iは相異なる.O'_i は互いに素,∪_{i=1}^m O'_i=O)とすると ∫_O' f(y)dy=∫_O'Σ_{i=1}^m a_iχ_{O'_i}dy=Σ_{i=1}^m a_im(O'_i)となり ここからどうすれば∫_O f(Φ(x))|detΦ'(x)|dxが得られるのでしょうか?