こんにちは。うまくいきませんのでどなたかお知恵を拝借させてください。

RamanujanのΔにHecke作用素T(m)を作用させた
(T(m)Δ)(z) = m^(-11)Σ_(ad = m) d^(-12) Σ_(b=0?(d-1)) Δ((az + b)/d)
が
(T(m)Δ)(-1/z) = z^12(T(m)Δ)(z)
を満たすか興味を持っています。
mが素数であるときT(m)はMordell作用素ですから成立しますし
合成数の場合として4,6についても確認できました。

b, d∈Zに対して X_<b,d>, Y_<b,d> を
b ≠ 0のとき、bX+dY = (b,d)； X,Y∈Z、1 ≦ X ≦ d/(b,d)-1の解、
b = 0のとき、X_<0,d> = 0、Y_<0,d> = 1
とします。ここで(b,d)はbとdの最小公倍数で (0,d) = dとします。

[b/(b,d)  -Y_<b,d>]
[d/(b,d)   X_<b,d>]∈SL2(Z)
を利用して
(T(m) Δ)(-1/z)
= z^12 m^(-11)Σ_(ad = m) (ad/(b,d))^(-12)
    Σ_(b=0?(d-1)) Δ(((b,d)2 z - a (b,d) X_<b,d>)/ad)
と変形できます。一方、
(T(m)Δ)(z) = m^(-11)Σ_(ad = m) d^(-12) Σ_(b=0?(d-1)) Δ((az - b)/d)
ともかけるので集合{(d, a/d, b/d)| 0≦b≦d-1,d|m} と
{(ad/(b,d), (b,d)2/ad, a (b,d) X_<b,d>)/ad)| 0≦b≦d-1, d|m}
が一致すれば証明終了です。

(b,d)がdの全ての約数を走るので ad/(b,d)は dの全ての約数を走り、dとad/(b,
d)の範囲は同じです。2番目はm/dとm/{ad/(b,d)}なので対応します。
最後についてはb/dと a X_<b,d>/{ad/(b,d)}なので
a X_<b,d>が0からad/(b,d) - 1の全てをとりうることが示せれば証明終了と
思いますがここで止まってしまいました。よろしくお願いします。

柳楽＠生物系