M_SHIRAISHI wrote:
> βακαμων！

あ、元気そうですね。よかったよかった。
マジに落ち込んじゃってたら悪かったかな、と思って。

> #「〔fy(0,0)=0]＆[fxx(0,0)=0]ならば[fxxy(0,0)=0]である〕
> 為には、f(x,y) が テーラー展開可能であることが必要である」
> ということを*証明した後*でなくては、f(x,y) をテーラー展開
> することなど許されぬワ！

あ、テーラー展開では難しかったですか。
なら「多項式」でもいいですよ。議論は同じだから。
「考える範囲を多項式（あるいはテーラー展開可能な関数）の範囲に
　限ってもすでにナンセンスである議論は、より一般の場合でも
　そのままナンセンス。」
ということです。

もっとも表面的にはそうメチャクチャ間違っているわけでもなくて：
> そして、その答（←「〜である為の必要で充分な条件は何か？」の答え）
> は、恐らく、 Ю{f(x,y)}：f(x,y)}＝Ａ(x,y)*(x^m)*(y^n)
> --- 但し、Ａ(x,y) は x について二回偏微分可能でかつ y について一回偏微分
> 可能な任意の函数であり、m, n は それぞれ m≧3, n≧2 であるような任意の
> 実数である。（尚、記号*は乗法を表わす。）--- ではないかと予想するのです

上で明らかに「間違い」と言えるのは、これを「必要条件」としている
部分ですね。まあそれもあくまで「予想」として述べているだけだけど。

> 尤も、充分条件であることは明らかですが・・・。

はい、細かいことを気にしなければそれは OK。
　# 細かいこととしては、Axxy の存在なんかも必要でしょうが。
　# なお「一回、二回」は「１階、２階」と書きべきでしょうね。

しかし問題なのは、数学的センスがどーしよーもなく悪いとか、
基礎的な知識・能力が全然備わっていない、といった点なんです。
試験でもよくありますね。答えだけは合っているけど、解き方とか
考え方がおかしい答案。

ちなみに多項式の範囲に限れば、fxx(0,0) = fy(0,0) = fxxy(0,0) = 0 を
満たすのは：
(A)　f(x,y) = a + bx + cxy + dy^2 + px^3 + qxy^2 + ry^3
　 　　　+ （x, y の４次以上の項）
の形のもの全体。a, ..., r は任意の実数で、0 でもかまわない。
M_SHIRAISHI さんの A(x,y) x^m y^n はこれを全部 0 としたような
ものです（もっとも m, n は整数ではなく、実数とされていたりするので、
直接対応するわけではありませんが）。

ただ老婆心ですが、間違っても
　「A(x,y), m, n を適当にとれば (A) の形にもできる」
なんてことは言わないでくださいね。傷口を広げるだけだから。
これは friendly advice。

> Taylor's expansin も Maclaurin's expansion も
> Laurent's expansion も Fourier's expansion も、
> 余は、みーんな、知って居るワ。

「知って」はいるでしょうね。
だけど内容をきちんと理解し、必要なところで適切に使えなければ
「わかった」ことにはならないんです。

なお過去の例から類推すると、そろそろ「錯乱モード」に突入しそうなので
私としてはこのへんで切上げたいです。

（平賀＠筑波大）

PS:
前便で：
I wrote:
> 元の問題に戻ると、(A) が成り立つことと (B) が成り立つことの間には、
> 「fxx(0,0)=0 が成り立つ」という同語反復以上に簡潔 and/or 意味のある
> 表現ができるとも思えません。

と書きましたが、fxx(0,0)=0 は fxxy(0,0)=0 でした。すみません。

ついでだけど、「不世出」と「不出世」はやはり反意語ですかねえ。
出世できないようなら不世出にはなれないだろうから。