距離と位相

疑問I. 集合Xに2元間の距離d: X x X -> R が与えられていると
e-近傍 U(x,e) = {y| d(x,y)<e }が定義できて、
任意のUの元xに対してd(x,e)⊂Uとなるe>0存在するXの部分集合U全体を
開集合としてXに位相が入ります。写像d: X x X -> Rが距離といわれるための
条件は
(i) d(x,y)>= ０,特にd(x,y) = 0とx = yとは同値。
(ii) d(x,y) = d(y,x)
(iii) d(x,z) =< d(x,y)+d(y,z)
ですが位相が入るための必要条件は(i)だけよいと思いますが正しいでしょうか？

疑問II.GL(n,C)に位相をいれるには距離
d(X,Y) = Σ_(ij) (X_ij-Y_ij){(X_ij-Y_ij)の複素共役}
を定義すればよいように思いますが正しいでしょうか？
あるいは一般的な方法でしょうか？

よろしくお願いします。

柳楽＠生物系