Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!border1.nntp.dca.giganews.com!nntp.giganews.com!postnews.google.com!d17g2000yqb.googlegroups.com!not-for-mail From: KyokoYoshida Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: $BG$0U$NFs$D$N=89g (B A,B $B$K$D$$$F!" (BA $B$+$i (B B $B$X$NC1 References: <2a7b6884-2de4-4995-9c22-c3ceab86d053@d16g2000yqb.googlegroups.com> <100701194043.M0323768@ras2.kit.ac.jp> <100705200243.M0117610@ras1.kit.ac.jp> <100712042754.M0104246@ras1.kit.ac.jp> <41e8e91a-0b97-4b37-957f-1a830d2e640a@d16g2000yqb.googlegroups.com> <100714121508.M0118210@ras1.kit.ac.jp> <62fa22e9-ed0e-4da3-abb4-206f491abd76@r27g2000yqb.googlegroups.com> <100715173102.M0100458@ras2.kit.ac.jp> <6f76322a-c888-4f8f-a5cb-2d856279815a@v6g2000prd.googlegroups.com> <100716175449.M0122474@ras2.kit.ac.jp> <100719003500.M0107106@ras1.kit.ac.jp> NNTP-Posting-Host: 74.72.91.236 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Trace: posting.google.com 1279580166 28771 127.0.0.1 (19 Jul 2010 22:56:06 GMT) X-Complaints-To: groups-abuse@google.com NNTP-Posting-Date: Mon, 19 Jul 2010 22:56:06 +0000 (UTC) Complaints-To: groups-abuse@google.com Injection-Info: d17g2000yqb.googlegroups.com; posting-host=74.72.91.236; posting-account=WW-P-goAAADS1u9yskwAcJfIST-zvGgd User-Agent: G2/1.0 X-HTTP-UserAgent: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.1; SV1),gzip(gfe) Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3121 ご回答大変有難うございます。 >>> 集合論の立場では A × B の部分集合 C であって, >>> (a, b) ∈ C, (a, b') ∈ C ならば b = b' >>> を満たすものが (graph f = C となる) >>> 写像 f: pr_A(C) → pr_B(C) を定めることになります. >> 射影も写像の一種ですから,射影を使って写像を定義する事はできませんよね。 > 分かり易いように写像の記法で書きましたが, > 上で pr_A(C) としたものは { a ∈ A | ∃ b ∈ B s.t. (a, b) ∈ C }, > 上で pr_B(C) としたものは { b ∈ B | ∃ a ∈ A s.t. (a, b) ∈ C } > と定義すれば宜しい. そうですね。これは分かり易いです。 > さて問題. > 問 1: 射影 pr_A: A × B → A, 射影 pr_B: A × B → B は > それぞれどう定義しますか. pr_A:={((a,b),a);a∈A,b∈B}, pr_B:={((a,b),b);a∈A,b∈B} と定義します。 > 問 2: 写像 f: A → B と A の部分集合 C に対して > 像 f(C) はどう定義しますか. f:={(a,b)∈A×B;b∈B'⊂B and (a,b),(a,b')∈A×B⇒b=b'} その時,f(C):={b∈B;(a,b)∈f∩(C×B)} と定義すればよいでしょうか。 >>> 集合論では graph の方が主たる対象となるわけですが, >>> 写像と写像の graph とは違うものだと考える方が >>> 普通でしょう. >> でもそうしますと,写像の定義は聞かれると答えれなくなってしまうのでは。。 > naive な理解で良いと思いますよ. そうですか。 >>> ともあれ, A × B の部分集合 C が写像を定めるには >>> どんな条件が必要ですか, という質問に対する答えが >>> 直ちに返ってこないようでは, 集合論的に写像を >>> 扱うことは覚束ないでしょう. >> 実は集合論ではgraphは写像の定義そのものではないのでしょうか?? > そう考えるのは, 十分に数学的基礎力が身に付いた後で良いでしょう. そうですか。 >> fが集合Xから集合Yへの写像 ⇔ >> (i) もしX≠φならY≠φ >> (ii) ∀(x,y),(x,y')∈X×Yに対してy=y' >> が写像の定義だと思います。 > 全く, 相変わらず, graph f と X × Y との区別が付いていませんね. > 御自分で上の定義の誤りを先ず訂正して御覧なさい. fが集合Xから集合Yへの写像 ⇔ (i) もしX≠φならY≠φ (ii) f⊂X×Y' (但し,Y'⊂Y)で∀(x,y),(x,y')∈X×Yに対してy=y' ではどうでしょうか? >> そしてgraphとは写像そのものの事(graphの定義は写像の定義と同じ)だと思います。 > 集合 X と集合 Y の直積集合 X × Y の部分集合 C が > X の部分集合 X' から Y の部分集合 Y' への > 写像 f:X'→Y'をその写像とすると > の graph であるとは, C=graph(f)の定義ですね。 > (x, y) ∈ C, (x, y') ∈ C であれば y = y' 像の一意性ですね。 > が成立することとし, X' = { x ∈ X | ∃ y ∈ Y, (x, y) ∈ C } X'がfの原像で > Y' = { y ∈ Y | ∃ x ∈ X, (x, y) ∈ C } とします. Y'がfの像である事の主張ですね。 > このとき, x ∈ X' に対しては, > (x, y) ∈ C となる y ∈ Y' が唯一つ定まりますから, > y = f(x) と書くことにします. > この x ∈ X' に対して y = f(x) ∈ Y' を対応させる対応のことを > 写像 f: X' → Y' とするわけです. ありがとうございます。 > 逆に, x ∈ X' に対して Y の(唯一つの)元 f(x) を > 対応させる対応があれば, > C = { (x, f(x)) | x ∈ X' } という X × Y の部分集合が > 決まりますが, これを graph f とすれば, > 先程の写像の graph の条件を満たします. これも有難うございます。 >> 勘違いしてますでしょうか? > 「対応」というのが naive な概念で使いたくない, というのは > 結構ですが, それには十分な数学的習熟が必要であろう, > ということです. そうでしたか。了解です。