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そうですね。環同型の条件をはずすとこちらが成り立たなくなりますね。
(φ+ψ)○η = φ○η+ψ○η
は成り立つので これを利用すべくFにφ○ψ= ψ○φの制限をかけようとすると
1_F○0_F!=0_F○1_F
なのでうまくいきません。どうも考えているような構造は簡単にできないようです。

柳楽＠生物系


Eiji KATSURA wrote:
> 
> <3EE5D05B.B5FBFD2@domain.com>の記事において
> email@domain.comさんは書きました。
> 
> > RからRの写像を環準同型にする必要はありませんでした。
> >
> > 可換環RからR自信への写像の全体集合をSとして、Sの元φ、ψの和、積、合成を
> > (φ+ψ)(a) = φ(a)+ψ(a)
> > (φψ)(a) = φ(a)ψ(a)
> > (φ○ψ)(a) = φ(ψ(a))
> > と定義すると φ+ψ、φψ、φ○ψはRからRの写像でFの元でこれらの演算はSで閉じています。
> >
> > 容易に
> 
> > φ○(ψ+η) = φ○ψ+φ○η(和と合成の分配律)、
> 
> (φ○(ψ+η))(a) =
> φ((ψ+η)(a)) =
> φ(ψ(a)+η(a)) =?
> (φ○ψ+φ○η)(a)
> となるためには、φが線形(和を和に写す)でないといけませんが、
> 大丈夫ですか？
> 
> > φ○(ψη) = (φ○ψ)(φ○η)(積と合成の分配律)、
> 
> これも。
> 
> 桂 英治＠(株)横浜インテリジェンス
> (katsura@hamaint.co.jp)