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From: KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com>
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: L(s, $B&V (B) $B$NJ#AGJ?LLA4BN$X$NDj5A$N3HD%$K$D$$$F (B
Date: Tue, 21 Jun 2011 13:02:01 -0700 (PDT)
Organization: http://groups.google.com
Lines: 22
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ご回答誠に有難うございます。

>> でも「この函数は全複素平面に接続され,…」と明記されているので
>>  Hurwitz zeta関数の全複素平面への被解析接続関数
>> が存在するのですよね。
>> その関数はどんな表示式なのでしょうか?
> 例えば, 「数論１」の 101 page の定理 3.18 (1) の証明を見れば,
>  \zeta(s, x)
>   = (1/\Gamma(s)) (\sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
>                    + \int_1^\infty (e^{-x u}/(1 - e^{-u})) u^{s-1} du)
> は全複素平面での表示になります.

どうもありがとうごさいます。
Re(s)>1の範囲では
ζ(s,x)=Σ_{n=0}^∞1/(n+x)^s
Re(s)<0の範囲では
ζ(s,x)=2^sπ^{s-1}Γ(1-s)Σ_{n=1}^∞n^{s-1}sin(πs/2+2nπa)
全複素数平面の範囲では
ζ(s,x)=(1/Γ(s)) (Σ_{n=0}^∞ (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
                  + ∫_1^∞ (e^{-x u}/(1 - e^{-u})) u^{s-1} du)

と記述できるのですね。