ご回答大変有難うございます。

>> f(z):=(2z+5)/(exp(2z)-1)の時 留数
>> Res_{z=0}f(z)を求めたいですが
>> t:=exp(z)とすると
> そういう変数変換をしたときに, 留数と何とが
> 対応するのか, 言えますか.

すいません。言えません。

>> =lim_{t→1} (2lnt+5)/(t+1)=5/2
> 結局示そうとしているのは,
>  Res_{z=0} f(z)
>  = lim_{z→0} z f(z)

すいません。どうして
Res_{z=0} f(z) から lim_{z→0} z f(z) と書けるのでしょうか?

> の極限を t = e^z という変数変換で求めることのようですね.
> 勿論, この極限が存在するなら, f(z) は z = 0 で一位の極
> になっていて,

lim_{z→0} z f(z)=lim_{z→0} (z-0)f(z)と変形できるから一位の極と言えるのですね。
二位の極だと
lim_{z→0} z f(z)= 1/2! lim_{z→0} d/dz (z-0)^2f(z)と書けてないといけないのですね。

> 留数は上の式で計算できますが, それは宜しい
> でしょうか.

すいません。
lim_{z→0} z f(z)から先は

lim_{z→0} z f(z)
=lim_{z→0} z (2z+5)/(exp(2z)-1)
=lim_{z→0} (z-0) (2z+5)/(exp(2z)-1)

ここからどうして

=5/2
が出てくるのでしょうか?

>> 上記の解答をどのように訂正すればいいのでしょうか?
> lim_{z→0} z f(z) の計算であると主張すれば通るでしょうが,
> lim_{z→0} z f(z) の計算であれば,
>  lim_{z→0} z f(z)
>  = lim_{z→0} (2z + 5)/((exp(2z) - 1)/z)

lim_{z→0} z f(z)からこのようになるのは分かりますがこれから

>  = 5/(lim_{z→0} (exp(2z) - 1)/z)

lim_{z→0} (exp(2z) - 1)/z=lim_{z→0} 2exp(2z) (∵l'Hospitalの定理) =2と収束するの
で
このように変形できますね。

>  = 5/(g'(0))

g(z):=exp(2z)と置けば 5/(lim_{z→0} (exp(2z) - 1)/z)=5/(lim_{z→0} (g(z) -g
(0))/z)
=5/g'(0)
=5/2
となるのですね。

> によって計算する方が簡単です. ここで, g(z) = exp(2z) です.

納得です。

>> 別の解法では Res_{z=0}f(z)を求めるにはz=0が孤立特異点で
>> D:0<|z-0|<1でf(z)が一価関数で正則なら
> 0 < |z - 0| < c  (c > 0) で f(z) が(一価)正則で
> 十分ですね.

ああ,w=ln(z)が多価関数でexp(2z)は一価関数でしたね。

>> (2z+5)/(exp(2z)-1)=(2z+5)(1-(2z)/2+・・・)/(2z)
>> =(1-(2z)/2+・・・)+(5/(2z)-5/2+・・・)
>>  =1-z+…+5/2/(z-0)-5/2+… =-3/2+5/2/(z-0)-z+…
> 書き方として, -3/2 と (5/2)/z との順序は逆でしょう.

ああ,そうですね。
=5/2/(z-0)-3/2-z+…と書くべきでしたね。

>> とLaurent展開できるから それでRes_{z=0}f(z)=Res_{z=0}(2z+5)/(exp(2z)-1)
>> =Res_{z=0}(-3/2+5/2/(z-0)-z
>> +…) =5/2 となるようなのですが
>> exp(2z)-1=2z+(2z)^2/2+(2z)^3/3!+・・・=2z[1+(2z)/2+(2z)^2/3!+・・・]から
>> どうして 1/(exp(2z)-1)=(1-(2z)/2+・・・)/(2z)が言えるのかが分かりません。
>> どうしてなのでしょう?
> exp(2z) - 1 = (2z)(Σ_{n=0}^∞ (2z)^n/(n+1)!) = (2z) h(z)
> とします. ベキ級数で定義された関数 h(z) は全平面で正則です.

任意の複素数z∈Cに対して
lim_{n→∞}[(2z)^{n+1}/((n+1)+1)!]/[(2n)^n/(n+1)!]
=lim_{n→∞}2z/(n+1)=0<1
となるので
任意の複素数z∈C(全平面)に対してh(z):=Σ_{n=0}^∞ (2z)^n/(n+1)!は収束するから
h(z)項別微分できる。
従ってh(z)は正則と言えるのですね。

> h(0) = 1 ≠ 0 ですから,

そうですね。

> 1/h(z) は z = 0 の近傍で正則です.

そうですね。上述の通り,h(z)は(項別)微分できる事が分かりましたから
1/h(z)も微分でき1/h(z)は正則と言えますね。

> 具体的にも 1/h(z) = 1 + Σ_{n=1}^∞ a_n z^n となる a_n を
> 順次計算して求めることが出来ますが, ここではそういう展開を
> もつことだけを知っていれば十分です.

つまり,複素関数ψ(z)がz=aの近傍で正則ならψ(z)は
ψ(z)=Σ_{n=0}^∞ a_n z^n という形に展開できるのですね。

しかし,2z[1+(2z)/2+(2z)^2/3!+・・・]からどうして 1/(exp(2z)-1)=(1-(2z)/2+・・・)/(2z)
と書けるのかが分からなければ,
(1-(2z)/2+・・・)+(5/(2z)-5/2+・・・)
=1-z+…+5/2/(z-0)-5/2+… =5/2/(z-0)-3/2-z+…
に持っていけずRes_{z=0}f(z)=5/2が求められないのではないでしょうか?

>> そして,D:0<|z-0|<1でf(z)が一価となる事は
>> どうすれば分かるのでしょうか?
> exp(2z) = 1 となるのは 2z = 2πi m  (m は整数) の時ですから,
> |z| < π なら h(z) ≠ 0 です.

 exp(2z)-1= (2z) h(z)ですからz=0ならh(0)=Σ_{n=0}^∞ (2・0)^n/(n+1)!=1≠0で
0<|z|<πならexp(2z)-1= (2z)h(z)の左辺は0ではないのでh(z)も0とはなりませんね。確かに。

> 1/h(z) は |z| < π で(一価)正則です.

すいません。ここがわかりません。どうして|z|<πでh(z)≠0なら1/h(z)は一価と言えるのでしょうか?

> f(z) = (2z + 5)(1/h(z))/(2z) が 0 < |z| < π で
> (一価)正則なのも自明です.

これはf(z)とg(z)とがある範囲Dで一価ならf(z)+g(z),f(z)g(z),αf(z)(但し,α∈C),f(z)/g(z) (但
し,g(z)≠0)もDで一価になるのですね。
従って,1/h(z)が|z|<πで一価なら2z+5や1/(2z)も|z|<πで一価なので f(z) = (2z + 5)(1/h(z))/
(2z)も一価になるのですね。