Path: news.ccsf.jp!norn-news!news.heimat.gr.jp!news.snarked.org!news.glorb.com!postnews.google.com!ct4g2000vbb.googlegroups.com!not-for-mail From: KyokoYoshida Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: $B&F (B(s),DL(s, $B&V (B),_{amodN(s)}, $B&F (B(s,x) $B$NJ#AGJ?LL>e$G$N@5B'@-!&M-M}7?@-!&2r@O@\B32DG=@-$N>ZL@ (B Date: Sat, 25 Jun 2011 15:58:53 -0700 (PDT) Organization: http://groups.google.com Lines: 170 Message-ID: <2b9843fb-d161-42df-b7a3-46d4f6ecb3ab@ct4g2000vbb.googlegroups.com> References: <2e428eab-9a06-460b-8cde-69388dca3002@z37g2000vbl.googlegroups.com> <110620021118.M0125793@ras2.kit.ac.jp> <4884dfe0-6450-471b-885d-16b8b89f7329@hd10g2000vbb.googlegroups.com> <110622173345.M0124258@ras1.kit.ac.jp> NNTP-Posting-Host: 64.131.132.132 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Trace: posting.google.com 1309042830 17208 127.0.0.1 (25 Jun 2011 23:00:30 GMT) X-Complaints-To: groups-abuse@google.com NNTP-Posting-Date: Sat, 25 Jun 2011 23:00:30 +0000 (UTC) Complaints-To: groups-abuse@google.com Injection-Info: ct4g2000vbb.googlegroups.com; posting-host=64.131.132.132; posting-account=WW-P-goAAADS1u9yskwAcJfIST-zvGgd User-Agent: G2/1.0 X-Google-Web-Client: true X-Google-Header-Order: ARLUEHNKC X-HTTP-UserAgent: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 8.0; Windows NT 5.1; Trident/4.0; YTB730; GTB7.0; .NET CLR 2.0.50727; InfoPath.2; .NET CLR 3.0.4506.2152; .NET CLR 3.5.30729),gzip(gfe) Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3440 ご回答誠に有難うございます。 >> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__10... >> としてみたのですが >> Γ(s)ζ(s,x)=∫_0^1exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u >> +∫_1^∞exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u >> でexp(-xu)が急激に0に近づくなら(as u→∞), >> どうして∫_1^∞exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u∈Cと言えるのでしょうか? > \exp(-u) \leq 1/u (u > 0) ですから, > 今, 自然数 M について 1 < Re(s) \leq M であるとすれば, > \exp(- x u) > = (\exp(- (x u)/(M+1)))^{M+1} > \leq (1/((x u)/(M+1)))^{M+1} > = ((M+2)/x)^{M+1} (1/u^{M+1}) ここは「=((M+2)/x)^{M+1} (1/u^{M+1})」ではなく「= ((M+1)/x)^{M+1} (1/u^{M+1})」ですよね? > ですから, > | \exp(- x u) u^s/(1 - \exp(-u)) | > \leq ((M+1)/x)^{M+1} (1/u) > となり, \int_1^\infty (1/u) du/u = \int_^\infty 1/u^2 du は > 可積分ですから, \int_1^\infty \exp(- x u) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u も > 可積分であることが分かります. http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__13.jpg となりましたが突然, |exp(-xu)u^s/(1-exu(-u))|≦((M+1)/x)^{M+1}1/uが言えるのは何故なのでしょうか? >> 更には∫_0^1exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u∈Cとなるのは何故分かるのでしょうか? > \exp(-x u) u/(1 - \exp(-u)) は u \in [0, 1] で有界であり, > |u^{s-1}| = u^{Re(s)-1} で, Re(s) > 1 のとき > \int_0^1 u^{Re(s)-1} du/u = \int_0^1 u^{Re(s)-2} du は可積分 > ですから, \int_0^1 \exp(- x u) u^s/(1 - \exp(-u)) du/u も > 可積分であることが分かります. http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__14.jpg となったのですがRe(s)≦1の時は考えなくていいのでしょうか? それとRe(s)>1の時,∫_0^1u^{Re(s)-1}du/u∈Cなら ∫_0^1exp(-xu)u^s/(1-exp(-u)) du/u ∈Cまでも言えてしまうのは何故なのでしょうか? >> それでもってΓ(s)ζ(s,x)∈Cならζ(s,x)が >> 全複素平面に解析接続可能と分かるのでしょうか? > \Gamma(s) \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s > の全複素平面上での有理形関数へ どうして,Γ(s)ζ(s,x)=∫_0^1exp(-xu)/(1-exu(-u)) u^s du/u + ∫_1^∞exp(-xu)/(1- exu(-u)) u^s du/u が全複素平面上での有理形,つまり ∫_0^1exp(-xu)/(1-exu(-u)) u^s du/u + ∫_1^∞exp(-xu)/(1-exu(-u)) u^s du/ u が全複素平面上で正則で,且つ全複素平面上で孤立特異点を持つ 事が分かるのでしょうか? > の解析接続が求まれば, > それの 1/\Gamma(s) 倍として, > \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s の全複素平面上での > 有理形関数への解析接続も得られますね. だから, 更にはどうして,ζ(s,x)= 1/Γ(s) [∫_0^1exp(-xu)/(1-exu(-u)) u^s du/u + ∫_1^∞exp(-xu)/(1-exu(-u)) u^s du/u] が全複素平面上での有理形,つまり 1/Γ(s) [∫_0^1exp(-xu)/(1-exu(-u)) u^s du/u + ∫_1^∞exp(-xu)/(1-exu(-u)) u^s du/u] が全複素平面上で正則で,且つ全複素平面上で孤立特異点を持つ 事が分かるのでしょうか? > \Gamma(s) \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s > = \int_0^\infty \exp(- x u) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du > が全複素数平面上の有理形関数となることを示そうと > しているわけです. 今,Γ(s):=lim_{n→∞} n^s n!/Π_{k=0}^∞(s+k)と ζ(s,x):=[1/lim_{n→∞} n^s n!/Π_{k=0}^∞(s+k)]・[Σ_{n=0}^∞(-1)^n/B_n(x)/(n! (s+n-1))+∫_1^∞exp(-xu)/(1-exp(-u) u^{s-1} du] とは複素平面上で正則且つ有理形なのでよね。 その場合は 両辺を正則且つ有理形関数Γ(s)で割ったもの ζ(s,x)=[1/(lim_{n→∞} n^s n!/Π_{k=0}^∞(s+k))^2]・[Σ_{n=0}^∞(-1)^n/B_n(x)/ (n!(s+n-1))+∫_1^∞exp(-xu)/(1-exp(-u) u^{s-1} du] も複素平面上で正則且つ有理形となる という命題が在るのでしょうか? > \int_1^\infty \exp(- x u) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du > が全複素数平面上で正則な関数になることは宜しいですか. すいません。∫_1^∞ exp(-xu) u^{s-1}/(1-exp(-u)) du 全複素平面で微分可能(正則)と分かるのでしょうか > \int_0^1 \exp(- x u) u^{s-1}/(1 - \exp(-u)) du > の部分が全複素数平面上の有理形関数となることは > 別の thread で述べました. すいません。ちょっと見つけれませんでした。どちらのthreadでしょうか? >> それでζ(s,x)が全複素平面に解析接続可能なら >> ζ(s),L(s,χ),ζ_{a(modN)}(s)らも全複素平面に解析接続可能と >> 言えるのでしょうか? > \zeta(s) = \zeta(s, 1) だから, ζ(s,1)=Σ_{n=0}^∞1/(1+n)^s=Σ_{n=1}^∞ 1/n^s=ζ(s)だから成立ちますね。 > \zeta(s) については良いですね. すいません。ζ(s)=1/[exp(2πis)lim_{n→∞}(n^sn!/Π_{k=0}^n(s+k))] ∫_c u^{s-1}/exp(u)-1 du がRe(s)>1ではΣ_{n=1}^∞ 1/n^sと等しくなるのはどうすれば言えますでしょうか? あと,ζ(s,1)=ζ(s)が成立つのは分かりましたが ζ(s,x) (但し,x≠1)の場合は全複素平面への解析接続性と有理型性とC\setminu{1}での正則性が言えるのでしょうか? > \zeta_{\equiv a (N)}(s) = N^{-s} \zeta(s, a/N) > ですから, ζ_{≡a(N)}(s)=Σ_{n∈amodN∩N}1/n^s=Σ_{n=1}^∞1/(a+nN)^s =1/N^sΣ_{n=1}^∞1/(n+a/N)^s=N^-sζ(s,a/N) ですね。 ζ(s,a/N)が全複素平面へ解析接続性と有理型性とC\setminus{1}で正則性を持つならそれをscalar倍(1/n^s倍)しても解析 接続性・有理型性・正則性は保存されるのですね。 > \zeta_{\equiv a (N)}(s) についても, 又, > L(s, \chi) = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(s) \zeta_{\equiv a (N)}(s) > についても, 全複素平面上の有理形関数への解析接続が求まる > ことになります. L(s,χ)=Σ_{a=1}^{N-1}χ(a)ζ_{a≡(modN)}(s) =χ(a)Σ_{a=1}^{N-1}ζ_{a≡(modN)}(s) =χ(a)(ζ_{1≡(modN)}(s)+ζ_{2≡(modN)}(s)+…+ζ_{(N-1)≡(modN)}(s)) にても各 ζ_{1≡(modN)}(s),ζ_{2≡(modN)}(s),…,ζ_{(N-1)≡(modN)}(s))が解析接続性・有理型性・正則性を持 つならその和やschalar倍に於いても解析接続性・有理型性・正則性が保たれるという訳ですね? >> それと(3)の丸1,丸2 「L(s,χ)がRe(s)>0で収束かつ正則になる」 >> 事についての証明で >> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__11... >> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__12... >> Σ_{n=1}^Nχ(n)Σ_{m=0}^∞(1/(mN+n)^s >> =Σ_{n=1}^Nχ(n)/(0・N+n^s+Σ_{m=1}^∞Σ_{n=1}^Nχ(n)/(mN+n)^s >> と変形できるのは何故なのでしょうか? > 元々, \chi(m N + n) = \chi(n) なので, χの定義からそうですね。 > \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s > = \sum_{n=1}^N \chi(n)/n^s > + \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^N \chi(m N + n)/(m N + n)^s > = \sum_{n=1}^N \chi(n)/n^s > + \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^N \chi(n)/(m N + n)^s > です. http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_15__19.jpg となったのですがどうすれば Σ_{n=1}^Nχ(n)Σ_{m=0}^∞1/(mN+n)^sから Σ_{n=1}^Nχ(n)/n^s+Σ_{m=1}^∞Σ_{n=1}^Nχ(n)/(mN+n)^sと変形できるのでしょうか? >> 又, >> Σ_{n=1}^∞Σ_{n=1}^Nχ(n)/(mN+n)^s ： > = N |s| (1 + 1/Re(s)) > です. お陰様で上手くいきました。 >> |χ(n)|=1はどうして言えるのでしょうか? > (Z/NZ)^\times は有限群ですから, n が N と素であれば, > ある自然数 M があって, n^M \equiv 1 (\mod N) となります. なるほどです。そのようなMが無ければ無限群になってしまいますね。