ご回答大変ありがとうございます。

> E_ij はそれ以前に説明はなかったですか?

はい、再度確認してみましたがやはりそれだけでした。


> 上の問題のようなことが成り立つのは E_ij が i行 j列の成分だけが 1 で
> 残りの成分が全て 0 となる行列を表しているからです. n = 3 なら,
>
>
>  E_11 = [ 1 0 0 ]  E_12 = [ 0 1 0 ]  E_13 = [ 0 0 1 ]
>         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]
>         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]
>
>
>  E_21 = [ 0 0 0 ]  E_22 = [ 0 0 0 ]  E_23 = [ 0 0 0 ]
>         [ 1 0 0 ]         [ 0 1 0 ]         [ 0 0 1 ]
>         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]
>
>
>  E_31 = [ 0 0 0 ]  E_32 = [ 0 0 0 ]  E_33 = [ 0 0 0 ]
>         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]         [ 0 0 0 ]
>         [ 1 0 0 ]         [ 0 1 0 ]         [ 0 0 1 ]
>
>
> というわけです.

ありがとうございます。
どこの文章からそのように分かるのでしょうか?


>> ((b)の証)
> E_ij が上のような行列であることを用いて,
> もう一度お考え下さい.

3×3とかで試してみましたら
(h_1,0,0)(0,0,0)
(0,h_2,0)(1,0,0)
(0,0,h_3)(0,0,0)
=
(0,0,0)
(h_2,0,0)
(0,0,0)

(0,0,0)(h_1,0,0)
(1,0,0)(0,h_2,0)
(0,0,0)(0,0,h_3)
=
(0,0,0)
(h_1,0,0)
(0,0,0)

(h_1,0,0)(0,0,1)
(0,h_2,0)(0,0,0)
(0,0,h_3)(0,0,0)
=
(0,0,h_1)
(0,0,0)
(0,0,0)

(0,0,1)(h_1,0,0)
(0,0,0)(0,h_2,0)
(0,0,0)(0,0,h_3)
=
(0,0,h_3)
(0,0,0)

という具合になるのでE_ijを右から掛けた場合にはE_ijの1の成分がある場所にh_iが来ますね。
そして左から掛けた場合にはE_ijの1がある成分の場所にh_jが来るのですね。
という事で
L_H(E_ij)=λE_ijとすると
左辺はHE_ij-E_ijHでHE_ijは
i行j列がh_iでそれ以外の成分は0,
E_ijHはi行j列がh_j,それ以外の成分は0となり,
HE_ij-E_ijHはi行j列がh_i-h_jそれ以外の成分は0
となるのですね。
そしてL_H(E_ij)=λE_ijの右辺はi行j列のみがλ,それ以外の成分が0なので
結局,λ=h_i-h_jと求まるのですね。

あと,α_ijが線形写像になると証明しましたがそれは大丈夫でしたでしょうか?

>> ((c)の証)
>> A,BはV→Vの線形写像だと思います。
> そう, V の線形変換ですね. 線形変換についての
> 交換子積というのを定義してあるわけです.

[A,B]=AB-BAという演算子[,]を交換積というのですね。


>> それで等式L_[X,Y]=[L_X,L_Y]が成り立つ事を証明します。
> L_X というのは Mat_n(C) の線形変換ですね.
>> ∀Z∈C^(n×n)に対し,
>> L_[X,Y](Z)=[X,Y]Z-Z[X,Y]=(XY-YX)Z-Z(XY-YX)=XYZ-YXZ-ZXY-ZYX.
>> [L_X,L_Y](Z)=(L_XL_Y-L_YL_X)(Z)
> ここまではいいですが,
>> =L_X(Z)L_Y(Z)-L_Y(Z)L_X(Z)
> ここが違います. 線形変換の積は写像の合成ですから,
>  (L_X L_Y - L_Y L_X)(Z)
>  = L_X(L_Y(Z)) - L_Y(L_X(Z))
> です. これでお確かめ下さい.

これで上手くいきました。どうもありがとうございます。