f(x)=x^k(kは自然数)でm_α(E)=0⇒m_α(f(E))=0 ならdim(E)=dimf(E)を示せ

いつも大変お世話になっております。

Let f(x)=x^k be defined on R,where k is a positive integer and let E
be a Borel subset of R.
(1) Show that if m_α(E)=0 for some α,then m_α(f(E))=0.
(2) Prove that dim(E)=dimf(E).
(where m_α is Hausdorff α-dimensional measure)

(1)については
Lemma2.2「Suppose a function f defined on a compact set E satisfies a
Lipschitz condition with exponent γ. Then
(i) m_β(f(E))≦M^βm_α(E) if β=α/γ.  (ii)　dimf(E)≦1/γdimE」
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p331_167.jpg
から今,γ=1となっているのでdimf(E)≦dimEと書け,仮定m_α(E)=0よりdimE<α(∵Hausdorff次元の定義)。
よってdimf(E)<αでもあるのでm_αf(E)=0.
と示せましたが,
(2)についてはどうすればいいのでしょうか?

吉田京子