tegra と申します。
丸山さんの質問に、私なりの答を出してみました。

> 指数関数のExp^x　は、不思議なものです。
> 
> このExp^xは、微分しても積分してもそのままですが、
> 
> 質問１．
> 　　　このように微分または積分してもそのままなのは、Exp^x以外にあるの
> 　　　でしょうか？
> 
はい、他にもあります。たとえば、  3 Exp^x
つまり、Exp^x の 3 倍、という関数も、
「微分しても積分してもそのまま」という性質を持っています。


> 質問２．
> 　　　ある関数f(ｘ)　（たとえば、Exp^x等　ほかでもOK）に、ある関数g(x) を 作
> 用
> 　　　させた場合、Exp^xの微積分のように　そのまま変わらないような関数g(x)は
> 　　　あるのでしょうか？
> 
> 　　　　g(f(x))=f(x)　　　？？
> 
あります。たとえば、
f(x) = 3  （つまり、恒等的に 3 という値を持つ定数値関数、早い話が０次式です）
g(x) = x^2 - x - 3  （という２次式であらわされる関数）
を考えれば、すべての x に対して  g(f(x))=f(x)  が成立します。


> 質問３．
> 　　　なぜ、Exp^xは、微分しても積分してもそのままなのでしょうか？その意味
> 　　　（？）は、どのように解釈すればよいのでしょうか？
> 　　　また、Exp^xを微分しても積分してもそのままであるような日常的な例は
> 　　　ないでしょうか？
> 

微分方程式の教科書を、何でもいいですからご覧になって、本の初めのほうを
探してみてください。

“f'(x) = f(x) を満たす関数は c Exp^x （c は定数、つまり f(x) は
指数関数の定数倍）に限る”

ということが、どこかに説明してあるはずです。微分方程式というのは、
自然現象を記述するためのもの（たとえば運動方程式）で、それを解くために
これは一番基本的な、出発点とも言える関数でしょう。

Exp^x は、「 f'(x) = f(x) を満たす関数であって c = f(0) = 1 となるもの」
という性質で、一意的に特徴づけられるもので、これは Exp^x という関数の
定義と言ってもいいのではないでしょうか？

tegra