ご回答大変ありがとうございます。


>> 勿論,広義積分も含めてリーマン可積とするわけです。
> 広義積分も絶対収束で考えるのでしょうね.
：
> どうも面倒ですね.

ことはそう簡単ではないのですね。


>> あ,今,H:=L^2(R)と考えてるのですね。
>> S:={f∈L^2(R),fはリーマン積分可能,fは有界}と考えているのですね。
>> f_n=-x+nならf_n∈Sですがその極限関数fはHすらにも含まれませんのでNGなのですね。
> いや f_n, 或いは |f_n|^2 自体, R 上では可積分ではないでしょう.

ああ、そうでした。f_nの積分ではなく|f_n|^2の積分でしたね。

>> f_n(x)=1/(|x|+0.1)^{n+1}だとこの関数は∫_R f_n(x)dx <2∫_R 1/x^{n+1}dx
>> <2Σ_{i=1}^∞ 1/n^2<∞
>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/example_graph_20090316...
>> という風になり,f_nの極限関数fも∫_R |f(x)|^2dx<2Σ_{i=1}^∞ 1/n^2<∞だが
>> fは非有界。
> 意味不明です. f_n → f となる f は, |x| < 0.9 で ∞ になります.
> 従って, f ∈ L^2(R) にはなりません. 又, f_n の積分では
> 意味がありませんが, その計算も間違っています.

すいません。Σ_{i=1}^∞1/n^2で抑えられませんでしたね。
デルタ関数はこれに当てはまりませんかね。すっきりしませんが。

これならどうでしょう
y=1/(x+1/n) (x≧-1/n+1/10^nの時),
0 (それ以外の時)
とすれば,f_nは有界でf_nとその極限関数fの積分値(面積)は,常にΣ_{i=1}^∞1/n^2で抑えられていて,
f_n∈Sですがf_n(-1/n+1/10^n)=10^n→∞
となり,極限関数fは(f_n(-1/n+1/10^n)=10^n→∞となり)非有界なのでSには含まれませんね。

> 簡単な例は, 非有界で非負な L^2(R) の元を f として,
> f_n を f(x) < n のとき, f_n(x) = f(x),
> f(x) ≧ n のとき, f_n(x) = n として定めたものです.

納得です。
上記の私の例と似てますね。