ご回答大変ありがとうございます。

>> つまり,(1)は「∀x∈[0,2π]に対して,∃{n_i};lim_{i→∞}sin(n_ix)=0」 であるかどうかが問われているのですね。
> 違います. (1) の主張は
> 「∃{n_i}, ∀x ∈ [0, 2π], lim_{i→∞} sin(n_i x) = 0 」
> です. そうでなければ, (4) が導かれません.

でもこれならxの値(xが有理数,無理数)によって,{n_i}が決まるので任意のx∈[0,2π]に対して,
lim_{i→∞} sin(n_i x) = 0 なる{n_i}は採れないのですよね。
従って,偽ではないのでしょうか?

>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/Real_Analysis/No4_2009...
>> という具合に証明できました。
> その URL は違うようですね.

http://www.geocities.jp/merissa0/study/Real_Analysis/Prop_in_No4_20090726.jpg
でした。
これは大変失礼いたしました。

>> 「x = (2π) r で, r が無理数であれば, ： 0 < (2π)(nr - M) < ε となる自然数 n が存在する」 を使うと
>> εとNを選ぶと (2π)(n_1r - M_1)<εなるN<n_1とM_1が
>> 存在する。 次に,ε/2,N:=n_1と選ぶと (2π)(n_2r - M_2)<ε/2なるN<n_2とM_2が
>> 存在する。 次に,ε/3,N:=n_2と選ぶと (2π)(n_3r - M_3)<ε/3なるN<n_3とM_3が存在する。
>> ： となる訳ですよね。この時,n_1r - M_1>n_2r - M_2>n_3r - M_3>…>0 そ
>> して
>> n_1<n_2<n_3<…となっている事は分かりますが この時,sin(2πn_1r)<sin(2πn_2r)<sin(2πn_3r)<…
>>  の関係になっているのでしょうか?
> 関係が変です.

上記のようにn_1<n_2<…となるようにn_1,n_2,…を採っていくと
n_1r - M_1>n_2r - M_2>n_3r - M_3>…>0
という関係になりますよね(∵ε/2,ε/3,…と上限をどんどん小さくとっていってるので)。

> 0 < x < π において, 0 < sin x < x ですから,
> 自然数 n_i, M_i を n_i < n_{i+1}, 0 < (2π)(n_i r - M_i) < 1/i
> となるようにとれば, x = 2πr について,
> sin(n_i x) = sin(2π n_i r) = sin((2π)(n_i r - M_i)) であり,

なるほど。sin(2π n_i r)=sin(2π n_i r-2πM_i)ですね。

> 0 < sin(n_i x) < 1/i となります.

なるほど。納得です。

>> う゛っ。 (5)は(1)を前提としなくても成立するので(5)は必ず正しいと思います。
>>  やはり, (1)の文意は「∃{n_i};∀x∈[0,2π]に対して,lim_{i→∞}sin(n_ix)=0」
>>  ではないんですかね。
> だから, そうです.

繰り返し言ってるかもしれませんが,
「∃{n_i};∀x∈[0,2π]に対して,lim_{i→∞}sin(n_ix)=0」 だと,
全てのxに対して,lim_{i→∞}sin(n_ix)=0なる{n_i}が存在するという事ですね。
でも実際にはx=2πrのrが有理数の場合とrが無理数の場合と
それぞれで{n_i}を決めないといけませんでしたよね。

>> 「∃{n_i};∀x∈[0,2π]に対して,lim_{i→∞}sin(n_ix)=0」なら 明らかに偽ですよね。
> (1) を仮定すると, (4) が導かれて, (5) と矛盾するのだから,
> (1) が偽であることが証明できたことになります.

(1)⇒(4)が真ならば(1)と(4)は真と真,偽と真,偽と偽…(*) という場合が考えられて,
今(5)は真と分かった,でも(1)⇒(4)も真とすると矛盾が生じたので,(4)は偽である筈。
従って,(*)に於いては偽と偽という場合しか考えられない。
従って,(1)は偽となるのですかね。

えーと,次のように考えてみると,,
「For n=1,2,3,…, let f_n:[0,2π]→R be defined by f_n(x)=sin(nx), for all
x∈[0,2π]」…(0)とすると
(0)∧(1) ⇒ (4)は真,
(0) ⇒ (5) も真,
しかし, ((0)∧(1) ⇒ (4))∧((0) ⇒ (5))は偽なので(∵両方が成り立つ事は有り得ない)
((0)∧(1) ⇒ (4)) か ((0) ⇒ (5)) かが偽。
((0) ⇒ (5)) は確かに真なので((0)∧(1) ⇒ (4))が偽 …(**) である筈。
でも(1)が偽なら((0)∧(1) ⇒ (4)) は真になってしまい(**)に矛盾。
よって(1)は真??

一体,どのように考えればいいのでょうか?