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From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: ζ関数に関する命題,解析接続,Γ関数など
Date: Mon, 19 Nov 2012 13:45:27 GMT
Organization: Kyoto Institute of Technology
Lines: 50
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工繊大の塚本です.

In article <k83krs$jj7$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> A=B=Rで　
> f(x,s):=0 [s=0の時]、
> x-1/s+1 (1/s-1≦x≦1/sの時),  1/s+1-x (1/s≦x≦1/s+1の時), 0 (other x) [s≠0の時]
> 
> とすればBは開集合になっていますし,
> f(x,s)はA×Bで連続ですが

この例は良いですが,

> F(s):=∫_A f(x,s)dx=[c_1]_{-∞}^{1/s-1}=0 [s=0の時]、
> [c_2]_{1/s-1}^{-∞}=0 (x<1/s-1の時)
> [x^2/2-x/s+x]_{1/s-1}^{1/s}=2/s+1/2 (1/s-1≦x≦1/sの時),
> [x/s+x-x^2/2]_{1/s}^{1/s+1}=1/2 (1/s≦x≦1/s+1の時),
> [c_3]_{1/s+1}^{+∞}=0  (1/s+1<xの時) [s≠0の時]
> (但し,c_1,c_2,c_3は定数)

この計算はわけがわからないですね.

  F(0) = \int_{-\infty}^\infty 0 dx = 0
  F(s) = \int_{-\infty}^\infty f(x, s) dx
       = \int_{1/s-1}^{1/s} (x - 1/s + 1) dx
         + \int_{1/s}^{1/s+1} (1/s + 1 - x) dx
       = [x^2/2 - (1/s - 1) x]_{1/s-1}^{1/s}
         + [(1/s + 1) x - x^2/2]_{1/s}^{1/s+1}
       = 1/2 + 1/2 = 1   (s \neq 0)

です. 原始関数に両端の値を代入して差を取るより,
グラフの三角形の面積を計算する方が早い.

> 即ち, F(s)=0 (s=0の時), 0+(2/s+1/2)+1/2+0 (s≠0の時)
> 即ち, F(s)=0 (s=0の時), 2/s+1 (s<0または0<sの時)

 2/s + 1 ではなく 1 です.

> そして,
> lim_{s→0}F(s)=lim_{s→0}(2/s+1)=∞なので
> F(s)はs=0にて不連続。

 \lim_{s \to 0} F(s) = 1 です.

> で宜しいでしょうか? 

例はそれで宜しいが, 計算は駄目です.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp