Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!news.unit0.net!eternal-september.org!feeder.eternal-september.org!mx04.eternal-september.org!.POSTED!not-for-mail From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: Γ(s)が∫_0^∞x^{s-1}exp(-x)dxの解析接続になっている事の証明で Date: Mon, 3 Sep 2012 13:19:07 GMT Organization: Kyoto Institute of Technology Lines: 75 Message-ID: <120903221907.M0227209@ras2.kit.ac.jp> References: <120827004419.M0310466@ras1.kit.ac.jp> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-2022-jp Injection-Info: mx04.eternal-september.org; posting-host="3df8f68f87f11e5e35eb7b48cfdfb59e"; logging-data="32561"; mail-complaints-to="abuse@eternal-september.org"; posting-account="U2FsdGVkX1+8D6RJkZbufJqdjf75pSyk" X-Newsreader: mnews [version 1.22PL7(UNI)] 2008-02/02(Sat) Cancel-Lock: sha1:9+os419DJfrzzrAhZRvu/UvN9To= Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3653 工繊大の塚本です. In article "Kyoko Yoshida" writes: > In article <120827004419.M0310466@ras1.kit.ac.jp> > Tsukamoto Chiaki writes: > > 最終的に必要となるのは, > > \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx > > = \lim_{n \to \infty} \int_0^n x^{s-1} (1 - x/n)^n dx > > なのですから, そこに絞って証明を試みられては如何ですか. > > えっ,つまり > (-1)lim_{n→∞}lim_{k→∞}∫_0^n(-1)Re(x^{s-1})(1+-x/k)^k > dx+(-1)ilim_{n→∞}lim_{k→∞}∫_0^n(-1)Im(x^{s-1})(1+-x/k)^k dx > = > (-1)lim_{n→∞}∫_0^n(-1)Re(x^{s-1})(1+-x/n)^n > dx+(-1)ilim_{n→∞}∫_0^n(-1)Im(x^{s-1})(1+-x/n)^n dx > といきなり書けるという事なのでしょうか? だから, \lim_{n \to \infty} \lim_{k \to \infty} のような 二重極限を導入する必要はありません. > > それから, 単調収束定理は増加列についてのものです. > > 減少列なら違う定理を使うのでしょう. > > 単調収束定理を使って, > 「Let (Ω,Σ,μ) be a measure space. > Then f_1,f_2,…∈L^1に於いて,f_1≧f_2≧…≧f a.e.⇒lim_{n→∞}∫_Ω f_n dμ > = ∫_Ω f dμ.」 > が言えますよね。 > http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_952__00.jpg 複素数値関数 f_n の |f_n| の話をしていると思っていたのに, 実数値関数の話でしたか. そりゃあ, そういう「定理」を作っても 構いませんが, 今の役には立ちません. > > さて, > > f_n(x) = x^{s-1} (1 - x/n)^n (0 < x < n) > > = 0 (otherwise) > > という関数列について, |f_n(x)| はどうかというと, > > g(t, x) = (1 - x/t)^t (0 < x < t) > 鐚 > > |f_n(x)| は単調増加列であることがわかります. > > http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop199_9525__00.jpg > となりましたがどうして(ln(1-x/t)+x/(t-x))g(t,x)と変形できるのでしょうか? 貴方の計算は (\partial/\partail t)(1 - x/t)^t の計算が 間違っています. 二箇所に t が現れるのですから, それぞれの 微分の項の和になります. 計算が分かりやすいように, \log g(t, x) = t \log(1 - x/t) の微分をしてみせたのですが, 分かりませんでしたか. 左辺の微分は (\partial g/\partial t)(t, x)/g(t, x), 右辺の微分は \log(1 - x/t) + t \times (1/(1 - x/t)) \times (x/t^2) = \log(1 - x/t) + x/(t - x) であるので, (\partial g/\partial t)(t, x) = (\log(1 - x/t) + x/(t - x)) g(t, x) です. > ええっ? すいません。混乱しております。 > どうしてこれから > http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop199_953__00.pdf > 2ページ目の下から3行目でlim_{n→∞}lim_{k→∞}を > lim_{n,k→∞}という変形の理由付けになるのでしょうか? だから n, k 二つの parameter での極限は考えません. > > \int_0^\infty x^{s-1} \exp(-x) dx > > = \lim_{n \to \infty} \int_0^n x^{s-1} (1 - x/n)^n dx が示されれば, それを使えば宜しい. -- 塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学 Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp