工繊大の塚本です.

In article <k0c65r$scr$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> kについての帰納法でd^k/dz^kΣ_{n=0}^∞B_n z^n/n!が
> Ball(0,2π,||)で一様収束で示そうとしているからです。

収束するベキ級数についての一般論で済むのではありませんか.
因みに, 収束半径の内部では「一様収束」ではなく「広義一様収束」であり,
広義一様収束するのは項別微分 \sum_{n=0} d^k/dz^k(B_n z^n/n!) です.

> それは
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_109__00.jpg
> というように帰納法を使わずにどのように示せばいいのでしょうか? 
 
正則関数の一般論で既に示されているのですから,
一々帰納法で示す必要はありません.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp