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From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: Cauchyの積分定理により∫_C u^{s-1}/(exp(u)-1)duが定数となる理由
Date: Mon, 20 Aug 2012 09:22:06 GMT
Organization: Kyoto Institute of Technology
Lines: 34
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References: <jt01cu$5kh$1@dont-email.me>
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Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3612

工繊大の塚本です.

In article <k0992k$923$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> log2ではなく,2とかで区分けした方が部分積分法が使えて,
> ∫_2^∞2t^{Re(s)-1}exp(-t)dtは積分できますね。

下端を被積分関数が正則な範囲で変更したところで,
部分積分法が使えるかどうかに影響はありません.
そもそも部分積分法を使う必要もない.

> 取り敢えず
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_283__18.pdf

部分積分法を用いて, 収束が示しやすい形にしようとする
試みは構いませんが, r は自然数ではないので, 途中の
 \lim_{b \to \infty} b^r/\exp(b) = 0
を示すのに, 何回かロピタルを用いれば
 \lim_{b \to \infty} 1/\exp(b) = 0
に帰着するわけではありません.
 \int_{b \to \infty} \int_a^b \exp(-t) dt
の収束は「計算できる」から良いですが, 0 < r - n のときの
 \int_{b \to \infty} \int_a^b t^{r-n} \exp(-t) dt
の収束はどういう議論から導いたのですか.
まあ, 負ベキの場合に帰着させればよいとは言うものの,
もう少し洗練された議論をした方が良いでしょう.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_285__10.pdf
> でいいのですね。 

無駄に長い.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp