Re: ζ(1-r,x)=-rB_r(x) (where x∈C)とζ_{amodN}(1-r)=-1/r N^{r-1}B_r(a/N)を示せ

工繊大の塚本です.

In article <jvp12r$ude$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__00.pdf
> となりましたが2ページ目の
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop207_975__00.jpg
> の[5]を言う為に

必要なのは「高々１位の極を持つ」ことです.
「１位の極をもつ」ことは必要ありません.
実際, x の値によっては極にならないこともあります.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop207_973__00.jpg
> を示さねばならないのですがこれはどうすれば言えますでしょうか?

 Bernoulli polynomial は 0 < x < 1 に必ず零点を持ちますから,
そんなことは言えません.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__41.jpg
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__42.jpg
> でOKなのですね。

証明で, 途中から無限和が有限和に化けていますから,
全然駄目です. 極をもたらす部分以外の部分の無限和を
無限和として書いた上で, その和が正則関数であるから,
と議論しないでは, 意味がないと, 何度も申し上げています.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop3_15__92.jpg
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop3_15__93.jpg
> なら大丈夫でしょうか?

言葉は足りませんが, 数式としてそうです.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop3_15__94.jpg

結論はそういうことになります.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_28__05.jpg
> という命題をそのまま使ったのですがそのようなやり方ではいけないでしょうか? 

 z = z_0 で n 位の零点を持つ関数 f(z) と
 z = z_0 で n 位の極を持つ関数 g(z) との
積 h(z) = f(z) g(z) は z = z_0 で正則になりますが,
だからといって, その正則関数の値 h(z_0) を
 f(z_0) g(z_0) と書いて良いわけではありません.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp