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From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: ζ(1-r,x)=-rB_r(x) (where x∈C)とζ_{amodN}(1-r)=-1/r N^{r-1}B_r(a/N)を示せ
Date: Tue, 24 Jul 2012 08:31:20 GMT
Organization: Kyoto Institute of Technology
Lines: 51
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	<juhgg1$6p5$1@dont-email.me>
	<120723202914.M0305178@ras1.kit.ac.jp>
	<jukfm8$hbs$1@dont-email.me>
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Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3538

工繊大の塚本です.

In article <jukfm8$hbs$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <120723202914.M0305178@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 極が出て来る部分を除くと無限和が収束して正則関数を与える
> > ということを使わないでは, 「証明」とは言えません.

これは \int_0^1 u^{s-1} \exp(-xu)/(1 - \exp(-u)) du
 = \sum_{k=0}^\infty (B_k(x)/k!)((-1)^k/(s + k - 1))
において, s = 1 - n においては (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
だけが極を持ち, \sum_{k \neq n} (B_k(x)/k!)((-1)^k/(s + k - 1))
は収束して s = 1 - n で正則である, という事実が
「証明」において使われていることを指摘しています.

> ζ(s,x)がs=1にて一位の極を持つ事は知っておりますが
> えっ? 今,1≦n∈Nであってn=0とは仮定していないので極の心配は不要なのでは?

それは違う話.

> もしかしてn∈N∪{0}と仮定してあるのですかね。

 \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
の和は n = 0 からの和です.
 \zeta(1-n, x) = -(1/n)B_n(x) となるのは,
 n が「自然数」のときだから, n = 0 は入りません.
実際, \zeta(s, x) は s = 1 で一位の極を持つので,
 \zeta(1, x) は無限大に発散します.

> それならという事で
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__36.jpg
> としてみましたが,

それは的外れ.

> 右辺の-1/0 B_0(x)が左辺と同じように
> Σ_{k=0}^∞c_k(z-a)^k+1/(z-1)^1と表される事が分かるのでしょうか?

そうはなりません. しかし, \zeta(s, x) の s = 1 での
留数の計算が, \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
を調べてでてきます.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/theorem3_18__37.jpg
> とするのでした。 

 \Gamma(s) は s = 1 - n で一位の極を持っているので,
 \Gamma(1-n) という表記は感心しません.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp