Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!feeder.erje.net!eternal-september.org!feeder.eternal-september.org!.POSTED!not-for-mail From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: L(r,χ)=1/(r-1)!・(-2πi/N)^r・1/2Σ_{a∈Z_N^×}χ(a)h_r(ζ_N^a)の証明 Date: Fri, 10 Jun 2011 10:39:50 GMT Organization: Kyoto Institute of Technology Lines: 83 Message-ID: <110610193950.M0127162@ras1.kit.ac.jp> References: <110509193431.M0118174@ras1.kit.ac.jp> <110524193337.M0119273@ras2.kit.ac.jp> <1ba8f3dd-2169-4fd2-9ef1-24b9a3e08109@gv8g2000vbb.googlegroups.com> <110601214046.M0120365@ras2.kit.ac.jp> <322e5fc9-4176-4b93-af4a-e020e9768888@u26g2000vby.googlegroups.com> <110607180548.M0116792@ras1.kit.ac.jp> <68b7601d-6909-4669-932c-0649cd8f1af8@gc3g2000vbb.googlegroups.com> <110609191705.M0125360@ras2.kit.ac.jp> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=iso-2022-jp Injection-Info: mx04.eternal-september.org; posting-host="1N8y6AJjHbnnz6u2HrptaA"; logging-data="14736"; mail-complaints-to="abuse@eternal-september.org"; posting-account="U2FsdGVkX192AImL/YfL2RzmcTT0u2N0" X-Newsreader: mnews [version 1.22PL7(UNI)] 2008-02/02(Sat) Cancel-Lock: sha1:7a+nCNABfWRDMtl9QkDZKaoS2DM= Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3372 工繊大の塚本です. In article KyokoYoshida writes: > 確かにΠ_{n=0}^∞(1+a_n)Σ_{n=1}^∞ b_nが絶対収束とは意味不明ですね。 > どのように訂正すべきでしょうか? 削れば良いでしょう. > In article <110609191705.M0125360@ras2.kit.ac.jp> > Tsukamoto Chiaki writes: > > 掛け算と足し算位は区別しましょう. > > http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_12__08.jpg > なら宜しいでしょうか? もう一度言います. 掛け算と足し算位は区別しましょう. さて, 領域 D で正則な u_n(z) について, |u_n(z)| \leq M_n, \sum_{n=1}^\infty Mn < +\infty が成立していれば, ある自然数 N について \sum_{n=N}^\infty \log(1 + u_n(z)) が 一様収束し, 正則関数になることから, f(z) = \prod_{n=1}^\infty (1 + u_n(z)) も正則関数になり, 項別対数微分出来て, f'(z)/f(z) = \sum_{n=1}^\infty (u_n(z))'/(1 + u_n(z)) となることは, 全て導かれるので, |(u_n(z))'| についての条件は必要ありませんし, 別にそれについての Weierstrass の優級数判定法を 使っているわけでもありません. > えっ? どういう事でしょうか? holomorphicである理由を述べる必要がありますよね? 一言そういえば済むことでしょう. > 何処か無駄な箇所がありますでしょうか? \log \exp を残すのは無駄です. > 数列{a_n}がa_n=(-1)^nの場合,Π_{n=1}^∞は振動するとか言ったりしないのですね。 そんな区別は不要です. > 級数や数列の極限や関数の極限の場合のように > 発散の仕方については細かく分類しないのですね。 正(負)の無限大への発散の場合は, 拡大数直線での収束と見る 立場もありますから, 区別することもありますが, それ以外は 不要の区別です. > > (d/dz)(\log(\prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2))) と書いているものを > > (d/dz)(\prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2))/(\prod_{n=1}^\infty (1 - > > z^2/n^2)) > > に戻してはいけません. > > えっ? すいません。ではどのように訂正したらよいのでしょうか? 単に \sum_{n=1}^\infty (-2z/n^2)/(1-z^2/n^2) に変形して 行けば良いでしょう. > http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_13__07.jpg > となったのですがどうしてlim_{z→0}とlim_{k→∞}を入れ換えれるのでしょうか? \prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2) は正則関数ですから 連続で, \lim_{z \to 0} の極限を計算するには 単に z = 0 を代入すれば良い. > http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop3_3__16.jpg > となったのですがkとxをどのように採れば > |Σ_{n=k+1}^∞2x/(x^2-n^2)|>εとできましょうか? ああ, \prod_{n=1}^\infty (1 - z^2/n^2) の 非一様収束性ではなく, \sum_{n=1}^\infty (d/dz) \log(1 - z^2/n^2) の非一様収束性 の方でしたか. そちらは前者よりもっと明らかで, 有限個の項を取ったものは高々有限個の z についてしか 値が無限大に発散しませんが, 極限 \pi \cot \pi z - 1/z は 任意の 0 でない整数 m について z = m で発散しますから, | (\pi \cot \pi z - 1/z) - \sum_{n=1}^k 2z/(z^2 - n^2)| > \epsilon としたければ, z を k+1 に近づけて取れば十分です. -- 塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学 Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp