工繊大の塚本です.

In article <94025dd6-cc51-49a5-b684-178010c4a4a6@f8g2000yqd.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> ところで
> http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_pro_a101.htm
> というのを見かけました。

その解答は余りきちんと書かれていないように思います.

> ウルトラ冪とは
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/misc/def_of_ultra_power.JPG
> という定義のようです。

それは違います. ultrapower というのは nonstandard model を
構成するのに使われるもので, ここでは universe U の
 index set I によるベキ乗 U^I = { f: I \to U } を
 I の ultrafilter F で割ったもの U^I/F = { [f] | f \in U^I }
(但し, [f] = [g] \Leftrightarrow "{ i \in I | f(i) = g(i) } \in F")
のことです.

# ultrafilter F は I のベキ集合 P(I) の部分集合で,
# 有限交叉性を持つものの中で極大なものです.
#  I はどの位大きくするか, とか, F として
# どのようなものを取るか, とか細かいことは省略.

この ultrapower には超準自然数 N^* が含まれています.
それは通常の自然数の全体 N より大きくなっていて,
無限大自然数を含みます.

普通のモデル U において, 自然数 n を一つ取る時,
 n 個からなる集合の鎖, x_n \in x_{n-1} \in \cdots \in x_1
が作れるのと同様に,
この ultrapower では超準自然数 n^* を一つ取る時,
 n^* 個からなる集合の鎖, x_{n^*} \in \cdots \in x_2 \in x_1
が作れますが, n^* を無限大自然数とすれば,
この鎖は無限の鎖 \cdots \in x_k \in \cdots \in x_2 \in x_1
を含むことになります.

しかし, X = { x_1, x_2, ... , x_k, ... }
( k は普通の自然数を動く) は
この ultrapower における「集合」にはならないので,
「矛盾」が生じるわけではありません.

 http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_pro_a101.htm
には, こういった話が書かれているわけです.

 nonstandard set theory については良く知りませんので,
岩波数学辞典(第４版) の 303 超準解析 とか
 462 モデル理論 とかを御参照下さい.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp