工繊大の塚本と申します.

In article <13ef1151-d50e-4578-8561-cb51800ab50f@26g2000yqv.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 下記の
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/259.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/261.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/263.jpg
> Sum of Two Squares Theorem(Legendre)
> D_1:=#{d∈Z;d|N,d≡1(mod4)}, D_3:=#{d∈Z;d|N,d≡3(mod4)},
> とすると
> 自然数Nを2つの整数の和としての表し方R(N)はR(N)=4(D_1-D_3)で表される。
> という定理の証明についての質問です。

 D_1, D_2 は条件を満たす positive integers の数を勘定するのですね.

> 以前の
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/gauss_prime7.JPG
> \xE3^A\xA7
> a_i-b_i√(-1)とa_i+b_i√(-1)とq_jがGaussian primeである事は分かりました。

 Gaussian Integer Unique Factorization Theorem
(Gaussian integer を Gaussian prime の積に表す,
素元分解についての一意性定理) も宜しいですね.

> そこで
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Legendre_sftst.JPG
> の(ii)の,まるi から先に進めずにいます。
> もしNが2つの平方の和として表されるならN=A^2+B^2という形で
> さらにN=(A+B√(-1))(A-B√(-1))という形になることはわかります。

一方 N = (-i)^t (1 + i)^{2t} Π_{i=1}^r ((a_i + b_i i)(a_i - b_i i))^{e_i}
 Π_{j=1}^s q_j^{f_j} で, f_j が全て even である場合ですから,
 N が A + B i とその共役 A - B i の積であるためには, 

> それから解説では
> 
> A+B√(-1)=u(1+√(-1))^t[Π_{i=1..r}(a_i+b_i√(-1))^{x_i}
> (a_i-b_i√(-1))^{e_i-x_i}]Π_{j=1..s}q^{f_j/2}

そうなります. # q ではなく, q_j ですね.

> A-B√(-1)=u'(1+√(-1))^t[Π_{i=1..r}(a_i+b_i√(-1))^{x_i}
> (a_i-b_i√(-1))^{e_i-x_i}]Π_{j=1..s}q^{f_j/2}

こちらは違います.

! A-B√(-1)=u'(1+√(-1))^t[Π_{i=1..r}(a_i+b_i√(-1))^{e_i-x_i}
! (a_i-b_i√(-1))^{x_i}]Π_{j=1..s}q_j^{f_j/2}

です.

> (但し,u,u'はunits)
> 
> という風な形になると言ってあるのでしょうか?

その通り. 但し 0 ≦ x_i ≦ e_i となるわけです.
なお, u' は u から定まります.

> それからどうして
> 4(e_1+1)(e_2+1)眈 が出てくるのかが分かりません。

 unit u の取り方が 4 通り, x_i の取り方がそれぞれ
 0, 1, ... , e_i の e_i + 1 通りですから,
取り方全体ではそれを掛け合わせた数だけあります.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp