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From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: u(x,y)=1+ln(x^2+y^2)(但し,x>0)とするとuのharmonic conjugateを求めよ
Date: Fri, 11 Jun 2010 04:10:00 GMT
Organization: Kyoto Institute of Technology
Lines: 33
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	<100601172008.M0124800@cals1.kit.ac.jp>
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Injection-Date: Fri, 11 Jun 2010 04:10:01 +0000 (UTC)
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Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3073

工繊大の塚本です.

In article <51c55ab0-3e5f-497a-a331-77f17847e76b@j4g2000yqh.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> つまり,log(x+1)=Σ_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} x^n/n (但し,-1<x≦1)は,
> -1<x≦1で一様収束する事が言えるのですね。

違います. -1 < a < 1 なる任意の実数 a について,
 a ≦ x ≦ 1 で一様収束で, -1 < x ≦ 1 では広義一様収束です.

> In article <100601172008.M0124800@cals1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > で, そもそも, log(1 + z) の Laurent 展開はどうやって
> > 導いたのですか.
> 
> f(z)=Log(1+z) (但し,Log(z+1)はlog(z+1)の主値
> (つまり,rexp(iθ):=zとするとlog(z)=log(r)+i(θ+2nπ) (∵log(z)の定義))の時,
> Log(z +1)=log(r)+iθ(但し,-π<θ≦π))
> と置くと,
> f^(1)(z)=(1+z)^-1,f^(2)(z)=-1!(1+z)^-2,f^(3)(z)=2!(1+z)^-1,f^(4)(z)=-3!
> (1+z)^-4,…より

だから, f(z) が冪級数で表示できることを示すのに,
まず f(z) が複素変数 z について微分可能であることを
使っているわけですね.

# f'(z) の存在をどう証明するかも色々ですが.

 log z の解析性も, その複素微分可能性から議論しているの
であれば, その話の筋道を確認されておいたほうが良いでしょう.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp