工繊大の塚本と申します.

可測空間の可測集合全体は, 高々可算個のものの和集合を取る操作と,
補集合を取る操作について閉じています.

In article <678021fe-3267-42a8-9c5d-5754f53eb412@r24g2000prf.googlegroups.com>
IWAKI Hidekazu <i.hidekazu@gmail.com> writes:
> ｛ω∈Ω｜X（ω）＜ｘ｝＝U^{∞}_i=1｛ω∈Ω｜X（ω）≦ｘ−１／ｉ｝∈Ｆ
> より
> ｛ω∈Ω｜Ｘ（ω）≦ｘ｝−｛ω｜Ω｜Ｘ（ω）＜ｘ｝∈Ｆ
> という感じでできればいいと思ったのですが、
> 集合差を取ったものがＦに属すことが言えず、
> どうすればいいのかわからなくなりました。

集合 A, B について, その集合差 A＼B とは,
 A と B の補集合 B^c との共通部分 A ∩ B^c の
ことですが, それは,
 A の補集合 A^c と B の和集合 A^c ∪ B の
補集合 (A^c ∪ B)^c に等しくなります.
つまり, A＼B = A ∩ B^c = (A^c ∪ B)^c です.
さて, A も B も可測集合であれば,
 A の補集合 A^c も可測集合, 和集合 A^c ∪ B も可測集合,
その補集合 (A^c ∪ B)^c も可測集合であり, つまり,
 A, B ∈ F であれば, A＼B ∈ F です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp