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From: chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: 自己随伴写像AがA=Σ_{j=1}^r α_j E_jとspectral分塊されるなら,α_jは相異なる固有値になる事を示せ
Date: Mon, 20 Jul 2009 18:08:54 +0900
Organization: Kyoto Institute of Technology
Lines: 38
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NNTP-Posting-Date: Mon, 20 Jul 2009 09:08:55 +0000 (UTC)
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工繊大の塚本です.

In article <f0f0b63a-214b-494f-8a63-9d768ba730b5@l35g2000pra.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> やはりこれは証明が要るのでしょうか?

それは立場によります. text の記述は, E_j らが,
 (E_j)^* = E_j, (E_j)^2 = E_j, E_i E_j = 0 (i≠j),
 Σ_{j=1}^r E_j = I を満たす, というところから
出発することを求めているように思いました.

> 「よって,Av_k=α_iv_k (但し,{i,1}≦k≦{i,j_i})(∵∀i≠jなら<E_i,E_j>=0)
> ：」
> 
> で本命題を示したつもりですが
> どうして固有空間の次元の証明が必要になるのでしょうか?

むしろそれだけ書いておけば良い.
 det([A] - λI) の計算は α_i 以外に固有値がないことの
証明にはなりますか.
ところで, <E_i, E_j> = 0 とは何ですか.

# {i,1}≦k≦{i,j_i} というのも「他人には伝わらない」
# 記法です.

> Aの表現行列が
> (α_1I_{d_1},　　O　)
> (O,α_2I_{d_2},　O　_)
> (O,O,α_3I_{d_3},O　)
> ：
> (O,O,…,O,α_rI_{d_r})
> と表される事と固有値の定義だけからα_1,α_2,…,α_rがAの全固有値である
> とは言えないのでしょうか?

勿論, 言えます.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp