工繊大の塚本と申します.

In article <073f9dee-10ed-41a5-9fa1-feac607aa7b8@i8g2000pro.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [Q.] Let A={z∈C;-1≦Re(z)≦1 and 0<Im(z)<π/2}. In each part,label you
> picture, and indicate clearly whether the boundary is included. Label
> the intercepts and/or angles.
> (a) Sketch A.
> (b) Let B be the set of w of the form w=e^z for z∈A. Draw the set B.
> (c) Let C be the set of w the form w=z^3 for z∈B. Draw the set C.
> (d) Let D be the set of w of the form w=ln(z) for z∈C. Draw the set D.
> 
> という問題です。
> 
> (a)については
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/graph1_20090717.jpg
> となりますね。
> 含まない場合は点線,含む場合は実線にしております。
> 
> (b)については
> w=e^z=e^{x+iy}=e^x・e^{iy}=e^x(cosy+isiny)と書け,ここで-1≦x≦1,0<y<π/2なので
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/graph2_20090717.jpg
> 
> (c)については
> w=z^3=(e^x(cosy+isiny))^3=e^{3x}(cos(3y)+isin(3y)) (∵De Moivreの公式).
> ここで-1≦x≦1,0<y<π/2なので
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/graph3_20090717.jpg

ここまではそんなものでしょうが,

> (d)については
> w=lnz=ln(e^{3x}(cos(3y)+isin(3y)))=ln(e^{3x}e^{3yi})
> =lne^{3x}+i(3y+2nπ).

この x, y も (a) での x, y で, -1 ≦ x ≦ 1, 0 < y < π/2
の範囲を動くのですね. log(e^{3x}) は何でしょう.

> ここで実部X:=lne^{3x}については(c)の1/e^3≦x≦1/eより

どうして 1/e^3 ≦ x ≦ 1/e なのでしょう. -1 ≦ x ≦ 1 です.
それにしても (c) の図のどこにも 1/e という値はありませんが.

> 3/e^3<X<3/e,

だからこれは出鱈目.

> 虚部Y:=3y+2nπは(c)の0<y<3π/2から

こちらも 0 < y < π/2.

> 2nπ<Y<3π/2+2nπ.

これも出鱈目.

> 従って
> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/complex_function/graph4_20090717.jpg
> 
> となったのですがこれで正しいでしょうか?

 3/e^3 が「負」であるように書かれているのは
なかなかユニークだと思いますが, 駄目です.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp