工繊大の塚本です.

In article <07379377-1658-406a-8b24-12eea0f2d94b@e23g2000vbe.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> m_αが外測度ってどういう事でしょうか?

 m_α 自体は任意の集合について定義される外測度です.
それについて Caratheodory の意味で可測な集合の族が
 Borel 集合族を含むので, Borel 集合族上の測度と
考えているわけです.

 F を例に挙げた [0, 1) の Lebesgue 可測でない集合として,

> dimF<1ならm_1(F)=0でdimF>1ならm_1(F)くらいしか分かりません。すいません。

先ず, F ⊂ [0, 1) ですから m_1(F) ≦ m_1([0, 1)) < ∞ です.
 [0, 1) = ∪_{[q] ∈ Q/Z} q・F  (q・F は F に q を作用
させて得られる [0, 1) の部分集合) であり,
 m_1(F) = m_1(q・F) なので,
 0 < m_1([0, 1)) ≦ Σ_{[q] ∈ Q/Z} m_1(q・F)
ですから, m_1(F) = 0 ではありません.
結局 dim F = 1 です.

> In article <090507175857.M0308544@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > Borel 関数であれば m_α 可測関数です. R^1 では

失礼. 「 Borel 可測関数であれば m_α 可測関数です」
とするか, 「 Baire 関数であれば m_α 可測関数です」
とするのでした.

> > ∫_F f(x) dm_1(x) = C ∫_F f(x) dx ですから,
> > 直ぐに見つかるでしょう.
> 
> fがm_α可測なら∀r→R,f^-1((0,r))∈M (但しMはHaudorff集合体)

 f が Borel 可測関数であれば, ∀r ∈ R, f^{-1}((0, r)) ∈ M
(但し, M は Borel 集合体) であり, f は m_α 可測です.

> fのcanonical formをf=Σ_{i=1}^K a_iχ_F_iとすると
> ∫_F f(x)dm_1(x)=Σa_im_1(F_i)=Σa_iCm(F_i)
>  (∵上の命題よりこのようなCが存在する)
> =CΣa_im(F_i)
> よってここでf(x)=1と採ればC∫_F f(x)dm=∞となり∫_F f(x)dm_1(x)=∞
> でいいのかと思いましたが,m(F)=∞とは限りませんよね。
> どうすればm(F)=∞は言えるのでしょうか?

 F = R ⊂ R^1 を取れば, そうなりますね.

勿論, f(x) = 1 ではない例も作れます.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp