工繊大の塚本です.

In article <d460e161-3860-4ec9-8b10-d47af47d9007@l19g2000vba.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> ∪_{n=1}^∞ E_n=R^dでE_n↑R^dなる任意のBorel集合列{E_n}について
> m_d(E_n)>0なるn∈Nがある事が言えれば
> m_α(E_n)=∞となるので
> m_d(E_n)>0なるn∈Nの存在を言えばいいのですよね。
> 背理法で示してみますと
> もし,Borel集合E_n≠φなる任意のn∈Nに対してm_d(E_n)=0だったとすると
> 0=m_d(E_n)=m_d^*(E_n)
> =lim{ε→∞}inf{Σ_{k=1}^∞ (diamF_k)^d;E_n⊂∪_{k=1}^∞ F_k,
>                                         diamF_k<ε for all k}
> からどんな矛盾が引き出せますでしょうか?

ああ, もう一つ. m_d は(定数倍を除いて) Lebesgue 測度 m と
一致します. 単位立方体を I^d とするとき,

  m_d(E) = m_d(I^d) m(E)

となります. m_d(E) = 0 と m(E) = 0 とは同値です.

 m(∪_{n=1}^∞ E_n) ≦ Σ_{n=1}^∞ m(E_n) ですから,
全ての n について m(E_n) = 0 なら, m(∪_{n=1}^∞ E_n) = 0
ですが, ∪_{n=1}^∞ E_n = R^n なら, m(R^n) = ∞ ですから,
そんなことは起きません.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp