工繊大の塚本です. 原稿は作ったのに, 投稿し忘れていたことに
気が付きました.

In article <9e245f54-89ef-410c-b3bf-9c9b23e0bc5e@p20g2000yqi.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> ん?  どうしてπ(H)={0}からH=A_4が言えるのでしょうか?

 π(H) = { 0 } なら, H ⊂ A_4 ですが, H も A_4 も
位数 12 なので, 一致します.

> すいません。これもどうしてπ(H)={0,1}からA_4H=S_4が言えるのでしょうか?

 π(H) = { 0, 1 } なら, H の中には A_4 に入らない元 x が
ありますが, S_4 = A_4 ∪ A_4 x ですから, A_4 H = S_4 です.

> これはA_4が位数4の巡回群を部分群として持たないからなのですね。

そうです.

> In article <090323223645.M0129625@cs2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > Sylow p-group の位数は G の位数から定まりますが,
> > Sylow p-group としてはその位数の任意の群が現れるわけでなく,
> > 現れるものは内部自己同型で移りあうので, 必ず唯一種類です.
> 
> うーん,ここは難しいですね。
> 内部自己同型で移りあうとはどういう意味なのでしょうか?
> 内部自己同型の定義は知ってはいますが。

これは Sylow p-subgroup の大事な性質で, 二つの
 Sylow p-subgroups S_1, S_2 があれば, 必ず g ∈ G で,
 g S_1 g^{-1} = S_2 となるものがあります.
 ψ_g: G → G, ψ_g(h) = g h g^{-1}  (h ∈ G) という
 G の(内部)自己同型を S_1 に制限して得られる,
 ψ_g: S_1 → S_2, ψ_g(h) = g h g^{-1}  (h ∈ S_1)
という同型があるわけです.

> { id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) } に

こちらはどの S_4 かで変わってきますが,

> (1 2 3 4)を含むもの, (1 3 4 2)を含むもの,(1 4 2 3)を含むもの,
> (1 2 3 5)を含むもの, (1 3 5 2)を含むもの,(1 5 2 3)を含むもの,
> (1 2 5 4)を含むもの, (1 5 4 2)を含むもの,(1 4 2 5)を含むもの,
> (1 5 3 4)を含むもの, (1 3 4 5)を含むもの,(1 4 5 3)を含むもの,
> (5 2 3 4)を含むもの, (5 3 4 2)を含むもの,(5 4 2 3)を含むもの,
> 
> の15個ですね。

そういうことですね.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp